%! iTeXMac(project): pdftex

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% opˇrateur avec deux dessous: Build {opˇrateur} {dessous1}{dessous2}
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\titrecourant={\hfil}
\partiecourante={\hfil}
\premiertitre={\bf CLASSE DE PREMI\`ERE ANN\'EE TSI}
\bg
{\sl Le programme de premi\`ere ann\'ee TSI est organis\'e en trois parties.
Dans une premi\`ere partie figurent les notions et les objets qui doivent
\^etre \'etudi\'es d\`es le d\'ebut de l'ann\'ee scolaire. Il s'agit essentiellement,
en partant du programme des
classes de Terminale STI ou STL et en s'appuyant sur les connaissances pr\'ealables des
\'etudiants, de donner les bases math\'ematiques utiles aux autres disciplines
scientifiques (physique, chimie, sciences industrielles).
Ces objets seront consid\'er\'es comme d\'efinitivement acquis
et il n'y aura pas lieu de reprendre
ensuite leur \'etude dans le cours de math\'ematiques.

Les deuxi\`eme et troisi\`eme parties correspondent \`a un d\'ecoupage classique
entre l'analyse et ses applications g\'eom\'etriques d'une part, l'alg\`ebre d'autre part. }


\TITRE{PROGRAMME DE D\'EBUT D'ANN\'EE}

\Titre{I. NOMBRES COMPLEXES ET G\'EOM\'ETRIE \'EL\'EMENTAIRE}


\titre{1- Nombres complexes}

{\sl L'objectif est de consolider et d'approfondir les notions sur les
nombres complexes d\'ej\`a abord\'ees en classe de Terminale. Le programme
combine l'\'etude du corps des nombres complexes et de l'exponentielle
complexe avec les applications des nombres complexes aux \'equations
alg\'ebriques, \`a la trigonom\'etrie et \`a la g\'eom\'etrie.
\so

Il est souvent commode d'identifier \C\ au plan euclidien
notamment pour les probl\`emes d'origine g\'eom\'etrique, ce qui permet
d'exploiter le langage de la g\'eom\'etrie pour l'\'etude des nombres
complexes et, inversement, d'utiliser les nombres complexes pour
traiter certaines questions de g\'eom\'etrie plane.
En particulier,
les \'etudiants doivent savoir interpr\'eter \`a l'aide des nombres complexes
les notions suivantes de la g\'eom\'etrie euclidienne plane~:
calcul vectoriel, barycentre, alignement, orthogonalit\'e
distance, mesure
d'angle.}



\so

\tit{a) Corps \C\ des nombres complexes}

\tx{Corps \C\ des nombres complexes. Parties
r\'eelle et imaginaire d'un nombre complexe, conjugaison dans \C.
}
{La construction du corps \C\ n'est pas exigible des
\'etudiants.

Notations $\re z$, $\im z$, $\bar z$.}
\so

\tx{Le plan \'etant muni d'un rep\`ere orthonormal,
affixe d'un point, d'un vecteur; image d'un nombre complexe.
}
{Interpr\'etation g\'eom\'etrique des transformations $z\mapsto\bar z$, $z\mapsto
z+b$.}
\so

\tx{Module d'un nombre complexe, module d'un produit, d'un quotient.
In\'egalit\'e triangulaire; interpr\'etation en termes de distances.
}
{Notation $|z|$; relation $|z|^2=\bar zz$.

Interpr\'etation g\'eom\'etrique de $|z|$, de $|z-a|$; disque ouvert (ferm\'e) de
centre $a$.}

\so


\tit{b) Groupe \U\ des nombres complexes de module 1}


\tx{
D\'efinition du groupe \U\ des nombres complexes de module 1

D\'efinition de ${\rm e}^{{\rm i}\theta}$, relations d'Euler.

Propri\'et\'es de l'application $\theta\mapsto{\rm e}^{{\rm i}\theta}$ de \R\ dans \U. Formule de Moivre.
}
{Par d\'efinition, ${\rm e}^{{\rm i}\theta}=\cos\theta+{\rm i}\,\sin\theta$
o\`u $\theta\in\R$. La d\'erivabilit\'e et les variations des
fonctions cosinus, sinus et tangente sont suppos\'ees connues, ainsi que
leurs formules d'addition.}

\so
\tx{Lin\'earisation et factorisation d'expressions trigonom\'etriques.}{Les \'etudiants doivent
con\-{na\^{\i}}\-tre les formules donnant $\cos(a+b)$,
$\sin(a+b)$, $\tan(a+b)$, $\cos 2x$, $\sin 2x$, $\tan 2x$. Ils
doivent savoir exprimer $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$
et ${\rm e}^{{\rm i}\theta}$ \`a l'aide de
$\dis\tan{\theta\over2}$ et relier ces formules \`a la
repr\'esentation param\'etrique rationnelle du cercle
{trigono}\-{m\'e}\-trique priv\'e de $-1$.}
\so

\txv{Arguments d'un nombre complexe. \'Ecriture d'un nombre complexe
$z\not=0$ sous la forme $\rho\,{\rm e}^{{\rm i}\theta}$ o\`u $\rho>0$ et
$\theta\in\R$ (forme trigonom\'etrique).

\so
Racines $n$-i\`emes de l'unit\'e. R\'esolution de l'\'equation $z^n=a$.}

\so

\tit{c) \'Equations du second degr\'e}

\tx{R\'esolution des \'equations du second degr\'e \`a coefficients
complexes; discriminant.}

\so

\tit{d) Exponentielle complexe}

\tx{D\'efinition de l'exponentielle d'un nombre complexe:
$${\rm e}^z={\rm e}^x\,{\rm e}^{{\rm i}y}\quad\hbox{\rm o\`u}\quad z=x+{\rm
i}y.$$
Propri\'et\'es.}
{La d\'erivabilit\'e et les variations de la fonction
exponentielle r\'eelle sont suppos\'ees connues, ainsi que son \'equation fonctionnelle.}
\so

\tit{e) Nombres complexes et g\'eom\'etrie plane}

\tx{Interpr\'etation des transformations: $$z\mapsto az,\ z\mapsto az+b,\ z\mapsto{1\over z}\vrg z\mapsto\overline z.$$

Interpr\'etation du module et de l'argument de $\dis{z-a\over z-b}\cdotp$ }
{Les \'etudiants doivent savoir interpr\'eter \`a l'aide des nombres
complexes les notions suivantes de la g\'eom\'etrie euclidienne plane:
distance, mesure d'angle, barycentre, alignement, orthogonalit\'e.} \so




\titre{2- G\'eom\'etrie \'el\'ementaire du plan}

{\sl \`A l'issue de la Terminale, les \'etudiants connaissent le plan
g\'eom\'etrique euclidien
en tant qu'ensemble de points. Ils connaissent en particulier la
fa\c{c}on d'associer \`a deux points $A$ et $B$ le vecteur $\vect{AB}$,
ainsi que les propri\'et\'es op\'eratoires usuelles. Il convient de faire constater
que l'ensemble des vecteurs du plan est muni d'une structure
de plan vectoriel (r\'eel), d\'efini comme espace vectoriel sur
$\R$ dont tout vecteur s'exprime comme combinaison lin\'eaire de
deux vecteurs ind\'ependants, c'est-\`a-dire non colin\'eaires. Toute
th\'eorie g\'en\'erale des espaces vectoriels est exclue \`a ce
stade.

Dans le plan, les notions suivantes sont suppos\'ees connues~:
calcul vectoriel, distance euclidienne, orthogonalit\'e,
rep\`ere orthonormal, angles.

La donn\'ee d'un rep\`ere orthonormal identifie le plan \`a $\R^2$ ou \`a $\C$.}
\so
\tit{a) Modes de rep\'erage dans le plan}
\tx{Rep\`ere cart\'esien du plan, coordonn\'ees cart\'esiennes.}{}
\so

\tx{Rep\`ere orthonormal direct, changement de rep\`ere.}
{Les formules de changement de rep\`ere sont \`a conna\^{\i}tre, uniquement dans le cas o\`u les deux rep\`eres sont orthonormaux directs.}

\so
\tx{Coordonn\'ees polaires d'un point du plan suppos\'e muni d'un rep\`ere orthonormal.}
{Le rep\`ere orthonormal
identifie le plan \`a $\C$.}

\tx{\'Equation
polaire d'une droite, d'un cercle passant par $O$.}{}
\so
\tx{
Rep\`ere polaire $(\vec{u},\vec{v})$ du plan euclidien $\R^2$ d\'efini,
pour tout nombre r\'eel $\theta$, par:
$$\vec{u}\,(\theta)=\,\,\cos\theta\,\,\vec{e_1}+\sin\theta\,\,\vec{e_2},$$
$$\vec{v}\,(\theta)=-\sin\theta\,\,\vec{e_1}+\cos\theta\,\,\vec{e_2}$$ o\`u
$(\vec{e_1},\vec{e_2})$ est la base canonique de $\R^2$.}
{Identification $\vec{u}=\e^{{\rm i}\theta}$, $\vec{v}={\rm
i}\e^{{\rm i}\theta}$.}
\so



\so
\tit{b) Produit scalaire}
\tx{D\'efinition g\'eom\'etrique du produit scalaire. Si $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ sont non nuls
$$\vec{u}\cdot\vec{v}
=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v}),$$
et $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ sinon.}
{Interpr\'etation en terme de projection.}
\so
\tx{Bilin\'earit\'e, sym\'etrie, expression en base orthonormale.}
{Dans $\C$, interpr\'etation g\'eom\'etrique de $\re(\bar{a}b)$.}

\so
\tx{D\'efinition d'une isom\'etrie du plan, d'un d\'eplacement; exemples: translation, rotation, r\'eflexion. Image par une isom\'etrie des figures et des configurations usuelles.
}{La classification g\'en\'erale des isom\'etries du plan est hors programme.}

\so
\tx{Expression analytique de l'image d'un vecteur par une rotation d'angle $\theta$.}{Au moment de l'\'etude des matrices on donnera la matrice d'une rotation vectorielle.}

\eject
\tit{c) D\'eterminant}
\tx{D\'efinition g\'eom\'etrique du d\'eterminant.
Si $\vec{u}$ et

$\vec{v}$ sont non nuls
$$\det(\vec{u},\vec{v})
=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin(\vec{u},\vec{v}),$$
et $\det(\vec{u},\vec{v})
=0$ sinon.}
{La notion d'orientation du plan est admise, ainsi que celle de
base orthonormale directe.}
\so
\tx{Bilin\'earit\'e, antisym\'etrie, expression en base orthonormale
directe.}
{Dans $\C$, interpr\'etation de $\im(\bar{a}b)$ comme {d\'e}\-ter\-minant
des vecteurs associ\'es \`a $a$ et $b$.
{Interpr\'e}\-ta\-tion g\'eom\'etrique de $|\det(\vec{u},\vec{v})|$ comme
aire du parall\'elogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
}

\so

\tit{d) Droites}

\tx{Applications du d\'eterminant \`a la
colin\'earit\'e de deux vecteurs, l'alignement de trois points.}

{Lignes de niveau de
$M\mapsto \vec{u}\cdot \vect{AM}$ et de
$M\mapsto\det(\vec{u},\vect{AM})$.}

\tx{
Param\'etrage et \'equation cart\'esienne d'une droite d\'efinie
par un point et un vecteur directeur, par deux points distincts,
par un point et un vecteur normal.

\so
Intersection de deux droites.

\so
Distance \`a une droite, \'equation normale d'une
droite.}{}

\so

\tit{e) Cercles}

\tx{\'Equation cart\'esienne d'un cercle.
Intersection d'un cercle et d'une droite.
}
{Caract\'erisation d'un cercle de diam\`etre $[AB]$ par l'\'equation
$\vect{MA}\cdot\vect{MB}=0$.}

\so

\tit{f) Similitudes directes du plan}

\tx{D\'efinition d'une similitude (transformation affine multipliant les
distances dans un rapport donn\'e); rapport de similitude. D\'efinition
d'une similitude directe. Homoth\'eties de rapport non nul, translations,
rotations. Compos\'ee de deux similitudes.

\so
\'Ecriture complexe d'une similitude directe. Centre et mesure de l'angle
d'une similitude directe distincte d'une translation. } {L'\'etude
g\'en\'erale des similitudes du plan est hors programme.

Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'effet d'une similitude directe
sur les angles orient\'es et les aires.} \so



\titre{3- G\'eom\'etrie \'el\'ementaire de l'espace}
{\sl\`A l'issue de la Terminale, les \'etudiants connaissent l'espace
g\'eom\'etrique euclidien (de dimension 3)
en tant qu'ensemble de points. Ils connaissent en particulier la
fa\c{c}on d'associer \`a deux points $A$ et $B$ le vecteur $\vect{AB}$,
ainsi que les propri\'et\'es op\'eratoires usuelles. Il convient de faire constater
que l'ensemble des vecteurs de l'espace est muni d'une structure
d'espace vectoriel (r\'eel) de dimension 3, d\'efini comme espace vectoriel sur
$\R$ dont tout vecteur s'exprime comme combinaison lin\'eaire de
trois vecteurs ind\'ependants. Toute
th\'eorie g\'en\'erale des espaces vectoriels est exclue \`a ce
stade.

Dans l'espace, les notions suivantes sont suppos\'ees connues
: calcul vectoriel, distance euclidienne, orthogonalit\'e,
rep\`ere orthonormal, angles.

La donn\'ee d'un rep\`ere orthonormal identifie
l'espace \`a $\R^3$.}
\so
\tit{a) Modes de rep\'erage dans l'espace}
\tx{Coordonn\'ees cart\'esiennes, cylindriques, sph\'eriques.}
{Pour les coordonn\'ees sph\'eriques, on convient de noter $\theta$
la colatitude, mesure dans $[0,\pi]$ de l'angle entre $Oz$ et $OM$.}


\tit{b) Produit scalaire}
\tx{D\'efinition g\'eom\'etrique du produit scalaire.
Bilin\'earit\'e, sym\'etrie, expression en base orthonormale.}
{Expression de la distance de deux points dans un rep\`ere orthonormal.}

\eject
\tit{c) Produit vectoriel}

\tx{D\'efinition g\'eom\'etrique du produit vectoriel de deux vecteurs.
Si $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ sont non nuls, le produit vectoriel de $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ est le vecteur de norme
$\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin(\vec{u},\vec{v})$ directement
orthogonal \`a $(\vec{u},\vec{v})$; sinon le produit vectoriel
est le vecteur nul.

Notations $\vec{u}\wedge\vec{v}$ ou $\vec{u}\times \vec{v}$.
}
{La notion d'orientation de l'espace est admise, ainsi que celle de
base orthonormale directe. Il convient de donner les conventions
physiques usuelles.

Interpr\'etation de $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|$ comme aire du
parall\'elogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.}

\so

\tx{
Bilin\'earit\'e, antisym\'etrie. Expression dans un rep\`ere orthonormal
direct. Condition de colin\'earit\'e de deux
vecteurs.}{L'application $\vec{v}\mapsto \vec{u}\times\vec{v}$
est lin\'eaire comme compos\'ee de trois applications lin\'eaires
(projection, rotation d'angle droit, homoth\'etie).}
\so

\tx{Isom\'etries de l'espace, d\'eplacements; exemples: translations, r\'eflexions, rotations.}{La classification des isom\'etries, ainsi que celle des {d\'e}\-pla\-ce\-ments de l'espace sont hors programme.}

\so
\tit{d) D\'eterminant ou produit mixte}

\tx{D\'efinition du produit mixte (ou d\'eterminant) de trois vecteurs~:
$$\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=(\vec{u}\wedge \vec{v})\cdot \vec{w}.$$
\so
Trilin\'earit\'e, antisym\'etrie. Expression en rep\`ere orthonormal
direct. Condition pour que trois vecteurs soient copla\-nai\-res.}
{Interpr\'etation de $|\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})|$
comme volume du
parall\'el\'epip\`ede construit sur $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.}


\so
\tit{e) Droites et plans}

\tx{Param\'etrage d'une droite d\'efinie par un point et un vecteur
directeur, deux points distincts, deux plans s\'ecants.


\'Equation d'un plan d\'efini par un point et deux vecteurs
ind\'ependants, un point et un vecteur normal, trois points non
align\'es. \'Equation normale d'un plan; distance \`a un plan.

\so
Intersections de droites et de plans.

\so
Distance d'un point \`a une droite.

\so
Distance de deux droites; perpendiculaire commune.}{}

\so
\tit{f) Sph\`eres}

\tx{\'Equation cart\'esienne d'une sph\`ere en rep\`ere orthonormal.
Intersection d'une sph\`ere et d'une droite, d'une
sph\`ere et d'un plan.}
\so
\so

\Titre{II. FONCTIONS USUELLES ET \'EQUATIONS DIFF\'ERENTIELLES LIN\'EAIRES}

{\sl
Les propri\'et\'es \'el\'ementaires li\'ees \`a la d\'erivabilit\'e des fonctions r\'eelles d'une variable r\'eelle sont
suppos\'ees connues. Les d\'eriv\'ees des fonctions circulaires
r\'eciproques seront d\'etermin\'ees en admettant le th\'eor\`eme sur
la d\'erivabilit\'e d'une fonction r\'eciproque.}

\so
\titre{1- Fonctions usuelles}

{\sl Les propri\'et\'es {\sl des fonctions polynomiales
et rationnelles} et des fonctions $\exp$, (sur $\R$), $\ln$, $\cos$, $\sin$
sont rappel\'ees sans d\'emonstration.}
\so
\tit{a) Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances}

\tx{Fonctions exponentielles r\'eelles, fonctions logarithmes. Fonctions
puissances. Croissances compar\'ees de ces fonctions.}
{Les \'etudiants doivent savoir
d\'eriver une fonction de la forme $x\mapsto u(x)^{v(x)}$.}
\so



\tx{Fonctions hyperboliques ch, sh et th et fonctions hyperboliques
r\'eciproques $\argch$, $\argsh$ et $\argth$.}{En ce qui concerne la trigonom\'etrie hyperbolique, la seule formule exigible des \'etudiants est la relation $\hbox{\rm ch}^2t-\hbox{\rm
sh}^2t=1$ et son interpr\'etation g\'eom\'etrique.}



\so
\tx{D\'eriv\'ees, variations et repr\'esentations
graphiques
des fonctions hyperboliques directes et r\'eciproques.}{Tout autre connaissance, en particulier l'ex\-pres\-sion des fonctions hyperboliques
{r\'eci}\-pro\-ques \`a l'aide d'un logarithme, est non exigible.}

\so
\tit{b) Fonctions circulaires}

\tx{Fonctions circulaires cos, sin et tan.

\so
Fonctions circulaires r\'eciproques $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$.}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les d\'eriv\'ees, les variations et les
repr\'esentations graphiques des fonctions circulaires directes et r\'eciproques.}
\so

\tit{c) Fonction exponentielle complexe}

\tx{D\'erivation de $t\mapsto {\rm e}^{at}$ o\`u $a\in\C$; d\'erivation de
$t\mapsto {\rm e}^{\varphi(t)}$, o\`u $\varphi$ est \`a valeurs complexes.
}
{La d\'eriv\'ee d'une fonction \`a valeurs complexes est d\'efinie par
d\'erivation des parties r\'eelle et imaginaire.}
\so


\titre{2- \'Equations diff\'erentielles lin\'eaires}
{\sl Il convient ici de rappeler la notion de primitive et d'admettre
le th\'eor\`eme fondamental la reliant \`a la notion d'int\'egrale. Toute
th\'eorie g\'en\'erale de l'int\'egration est exclue \`a ce stade.

\so
L'objectif, tr\`es modeste, est d'\'etudier les \'equations diff\'erentielles
lin\'eaires du premier ordre et les \'equations lin\'eaires du second ordre \`a
coefficients constants.

Il convient de relier cette \'etude \`a l'enseignement des autres disciplines
scientifiques (syst\`emes m\'ecaniques ou \'electriques gouvern\'es par une loi
d'\'evolution et une condition initiale, traitement du signal). Il convient
d'\'etudier le comportement du signal de sortie associ\'e \`a diff\'erents types de
signaux d'entr\'ee (\'echelon unit\'e, cr\'eneau, exponentielle r\'eelle ou
circulaire) et de d\'egager la signification de certains param\`etres ou
comportements: stabilit\'e, r\'egime permanent, oscilllation, amortissement,
fr\'equences propres, r\'esonance. Dans le cadre de tels probl\`emes, on peut
\^etre amen\'e \`a \'etendre la notion de solution (fonction ${\cal C}^1$ ou ${\cal
C}^2$ par morceaux) mais, en math\'ematiques, aucune connaissance sur ce
point n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tit{a) \'Equations lin\'eaires du premier ordre}

\tx{Caract\'erisation de la fonction $t\mapsto {\rm e}^{at}$ ($a\in\C$) par
l'\'equation diff\'erentielle $y'=a\,y$ et la condition initiale $y(0)=1$.
}
{\'Equation fonctionnelle $f(t+u)=f(t)f(u)$ o\`u $f$ est une
fonction d\'erivable de $\R$ dans $\C$.}
\so

\tx{\'Equation $y'+a(t)y=b(t)$, o\`u $a,\,b,\,c$ sont des fonctions
continues \`a valeurs r\'eelles ou complexes. \'Equation sans second membre
associ\'ee.
}
{Cons\'equences de la lin\'earit\'e de l'\'equation~: structure de
l'ensemble des solutions; la solution g\'en\'erale de l'\'equation avec
second membre est somme d'une solution particuli\`ere et de la
solution g\'en\'erale de l'\'equation sans second membre; principe de
superposition lorsque $b=b_1+b_2$.}

\tx
{Existence et unicit\'e de la solution satisfaisant \`a une condition initiale
donn\'ee. Droite
vectorielle des solutions de l'\'equation sans second membre associ\'ee.
Expression des solutions sous forme int\'egrale.}{}
\so

\tit{b) \'Equations lin\'eaires du second ordre \`a coefficients constants}

\tx{\'Equation $ay''+by'+cy=f(t)$, o\`u $a,\,b,\,c$ sont des nombres
complexes, $a\not=0$, et $f$ une somme de fonctions de type $t\mapsto
{\rm e}^{\alpha t} P(t)$, o\`u $\alpha\in\C$ et $P\in\C[X]$.

\'Equation sans second membre associ\'ee.}
{Cons\'equences de la lin\'earit\'e de l'\'equation~: structure de
l'ensemble des solutions; la solution g\'en\'erale de l'\'equation avec
second membre est somme d'une solution particuli\`ere et de la
solution g\'en\'erale de l'\'equation sans second membre; principe de
superposition lorsque $f=f_1+f_2$.}

\tx{Existence et unicit\'e de la solution satisfaisant \`a une condition initiale
donn\'ee. Plan vectoriel des solutions de l'\'equation sans
second membre associ\'ee.}

\vfill\eject

\titre{3- Courbes param\'etr\'ees. Coniques}
{\sl On adopte ici le point de vue suivant. Par d\'efinition, la fonction
vectorielle $f$ tend vers le vecteur $l$ si $\|f-l\|$ tend vers
z\'ero; cela \'equivaut au fait que les fonctions coordonn\'ees
de $f$ tendent vers les coordonn\'ees de $l$.}

\so
\tit{a) Courbes planes param\'etr\'ees}
\tx{D\'erivation de $(f|g)$, $\|f\|$, $\det(f,g)$ lorsque $f$ et $g$
sont deux fonctions ${\cal C}^1$ \`a valeurs dans $\R^2$.}{}
\so


\tx{Courbe d\'efinie par une repr\'esentation param\'etrique
de classe ${\cal C}^k$
$$t\mapsto\vect{OM}(t)=f(t).$$
Point r\'egulier, tangente en un point r\'egulier.}
{Exemples d'\'etude de branches infinies.}
\so

\txv{Interpr\'etation {cin\'e}\-ma\-ti\-que~: mouvement d'un point
mobile, trajectoire, vitesse, acc\'el\'eration.}


\so

\tit{b) Coniques}

\tx{Dans le plan, lignes de niveau de $\dis{MF\over MH};$ d\'efinition
par excentricit\'e, foyer et directrice d'une parabole, d'une ellipse, d'une
hyperbole. \'Equations r\'eduites, centres, sommets, foyers. Asymptotes d'une
hyperbole.
}
{\'Enonc\'e, sans d\'emonstration, de la {caract\'e}\-ri\-sa\-tion des ellipses et des hyperboles \`a l'aide des lignes de
niveau de $MF+MF'$ et de $|MF-MF'|$ (d\'efinition bifocale).}
\so

\txv{D\'etermination, en coordonn\'ees
cart\'esiennes, des tangentes \`a une conique.}
\so
\tx{Image d'un cercle par une affinit\'e orthogonale. } {Projection
orthogonale d'un cercle de l'espace sur un plan.} \so

%%%%%
\vfill\eject
\TITRE{ANALYSE ET G\'EOM\'ETRIE DIFF\'ERENTIELLE}

{\sl Le programme d'analyse est organis\'e autour des concepts
fondamentaux de suite et de fonction. La ma\^{\i}trise du calcul
diff\'erentiel et int\'egral \`a une variable et de ses interventions en
g\'eom\'etrie diff\'erentielle plane constitue un objectif essentiel. \so

Le cadre d'\'etude est bien d\'elimit\'e: suites de nombres r\'eels et de
nombres complexes, fonctions d\'efinies sur un intervalle de \R\ \`a
valeurs r\'eelles ou complexes, courbes planes, notions \'el\'ementaires
sur les fonctions de deux variables r\'eelles.

Le programme combine l'\'etude globale des suites et des fonctions
(op\'erations, majorations, monotonie, existence d'extremums$\ldots$) et l'\'etude de leur
comportement local ou asymptotique. En particulier, il convient de mettre
en valeur le caract\`ere local des notions de limite, de continuit\'e, de
d\'erivabilit\'e et de tangente.

Il combine aussi l'\'etude de probl\`emes qualitatifs (monotonie d'une
suite ou d'une fonction, existence de limites, continuit\'e, existence de
z\'eros et d'extremums de fonctions, existence de tangentes$\ldots$) avec
celle des probl\`emes quantitatifs (majorations, \'evaluations
asymptotiques de suites et de fonctions, approximations de z\'eros et
d'extremums de fonctions, propri\'et\'es m\'etriques des courbes
planes$\ldots$).

En analyse, les majorations et les encadrements jouent un r\^ole
essentiel. Tout au long de l'ann\'ee, il convient donc de d\'egager les
m\'ethodes usuelles d'obtention de majorations et de minorations:
op\'erations sur les in\'egalit\'es, emploi de la valeur absolue ou du
module, emploi du calcul diff\'erentiel et int\'egral (recherche
d'extremums, in\'egalit\'es des accroissements finis et de la moyenne,
majorations tayloriennes$\ldots$). Pour comparer des nombres, des suites
ou des fonctions, on utilise syst\'ematiquement des in\'egalit\'es larges
(qui sont compatibles avec le passage \`a la limite), en r\'eservant les
in\'egalit\'es strictes aux cas o\`u elles sont indispensables. \so

En ce qui concerne l'usage des quantificateurs, il convient
d'entra\^{\i}ner les \'etudiants \`a savoir les employer pour formuler de
fa\c{c}on pr\'ecise certains \'enonc\'es et leurs n\'egations (caract\`ere
born\'e, caract\`ere croissant, existence d'une limite, continuit\'e en un
point, continuit\'e sur un intervalle, d\'erivabilit\'e en un
point$\ldots$). En revanche, il convient d'\'eviter tout recours
syst\'ematique aux quantificateurs. A fortiori, leur emploi abusif
(notamment sous forme d'abr\'eviations) est exclu. \so

Le programme d'analyse et g\'eom\'etrie diff\'erentielle comporte la
construction, l'analyse et l'emploi d'algorithmes num\'eriques
(approximations de solutions d'\'equations num\'eriques, approximations
d'une int\'egrale$\ldots$) et d'algorithmes de calcul formel
(d\'erivation, primitivation$\ldots$); plus largement, le point de vue
algorithmique est \`a prendre en compte pour l'ensemble de ce programme,
notamment pour le trac\'e de courbes.} \so

\Titre{I. NOMBRES R\'EELS, %ET COMPLEXES
SUITES ET FONCTIONS}



\titre{1- Suites de nombres r\'eels}

{\sl 

Pour la notion de limite d'une suite $(u_n)$ de nombres r\'eels, on adopte
les d\'efinitions suivantes:

-~\'etant donn\'e un nombre r\'eel $a$, on dit que $(u_n)$ admet $a$ pour
limite si, pour tout nombre r\'eel $\varepsilon>0$, il existe un entier
$N$ tel que, pour tout entier $n$, la relation $n\se N$ implique la
relation $|u_n-a|\ie\varepsilon$. Lorsqu'un tel nombre $a$
existe, on dit que la suite $(u_n)$ est convergente, ou qu'elle admet une
limite finie; le nombre $a$ est alors unique, et on le
note $\dis\lim_{n\rightarrow {\infty}}u_n$. Dans le cas contraire, on dit que $(u_n)$ est divergente;

-~on d\'efinit de mani\`ere analogue la notion de limite lorsque
$a=+\infty$ ou $a=-\infty$; on dit alors que la suite $(u_n)$ tend vers
$+\infty$ ou vers $-\infty$.

Tout vocabulaire topologique est hors programme.}

 \so
\tit{a) Corps \R\ des nombres r\'eels}

\tx{Corps \R\ des nombres r\'eels; relation d'ordre, compatibilit\'e avec
l'addition, la multiplication. } {La construction du corps des nombres
r\'eels et la notion de corps totalement ordonn\'e sont hors programme.}
 \so
%%%%
\tx{Valeur absolue d'un nombre r\'eel, distance de deux points.

In\'egalit\'es triangulaires $$||x|-|y||\ie|x+y|\ie|x|+|y|.$$ }{} \so

\txv{D\'efinition d'une borne sup\'erieure, d'une borne inf\'erieure.}

\so
\tx{Toute partie major\'ee non vide admet une borne sup\'erieure. D\'efinition
de la droite r\'eelle achev\'ee $\overline\R$. }{Propri\'et\'e admise.} \so

\tx{D\'efinition des intervalles de \R. Tout intervalle $]a,b[$ non vide
rencontre \Q\ et son compl\'ementaire. } {} \so


\tx{Partie enti\`ere d'un nombre r\'eel. Valeurs d\'ecimales approch\'ees
\`a la pr\'ecision $10^{-n}$; approximation par d\'efaut, par exc\`es. }
{La notion de d\'eveloppement d\'ecimal illimit\'e est hors programme.}
\so


\tit{b) Suites de nombres r\'eels}

\tx{Ensemble des suites de nombres r\'eels, op\'erations, relation d'ordre.

Suites major\'ees, minor\'ees. Suites born\'ees.

Suites monotones, strictement monotones. } {Pour la pr\'esentation du
cours, le programme se place dans le cadre des suites index\'ees par \N.
On effectue ensuite une br\`eve extension aux autres cas usuels.} \so

\tit{c) Limite d'une suite}

\tx{Limite d'une suite, convergence et divergence.

Lorsque $a\in\R$, la relation $u_n\rightarrow a$ \'equivaut \`a
$u_n-a\rightarrow0$. } {Tout nombre r\'eel est limite d'une suite de nombres rationnels.} \so

\tx{Toute suite convergente est born\'ee. } {Toute suite de nombres
r\'eels convergeant vers un nombre r\'eel strictement positif est
minor\'ee, \`a partir d'un certain rang, par un nombre r\'eel strictement
positif.} \so

\tx{Espace vectoriel des suites convergeant vers 0; produit d'une suite
born\'ee et d'une suite convergeant vers 0. } {} \so

\tx{Op\'erations alg\'ebriques sur les limites; compatibilit\'e du passage
\`a la limite avec la relation d'ordre. } {Si $|u_n|\leq\alpha_n\ {\rm
et}\ \alpha_n\tend 0$, alors $u_n\tend 0$. \so

Si $v_n\leq u_n\leq w_n$, et si $v_n\tend a$ et $w_n\tend a$, alors
$u_n\tend a$.

Si $v_n\ie u_n$ et si $v_n\rightarrow+\infty$, alors
$u_n\rightarrow+\infty$.} \so

\tx{Suites extraites d'une suite. Toute suite extraite d'une suite
convergeant vers $a$ converge vers $a$. } {Application \`a la divergence
d'une suite born\'ee: il suffit d'exhiber deux suites extraites
convergeant vers des limites diff\'erentes.

La notion de valeur d'adh\'erence d'une suite est hors programme.} \so

\tit{d) Relations de comparaison}

\tx{\'Etant donn\'ee une suite $(\alpha_n)$ de nombres r\'eels non nuls,
d\'efinition d'une suite $(u_n)$ de nombres r\'eels domin\'ee par
$(\alpha_n)$, n\'egligeable devant $(\alpha_n)$. } {Notations $u_n={\rm
O}(\alpha_n),\ u_n={\rm o}(\alpha_n)$. \so

Caract\'erisations \`a l'aide du quotient
$\displaystyle{u_n\over\alpha_n}\cdot$} \so

\tx{D\'efinition de l'\'equivalence de deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de
nombres r\'eels non nuls. \'Equivalent d'un produit, d'un quotient. \so

Si $u_n=\alpha_n+w_n$, o\`u $w_n$ est n\'egligeable devant $\alpha_n$,
alors $u_n\sim\alpha_n$. } {Notation $u_n\sim v_n$. \so

Caract\'erisation \`a l'aide du quotient $\displaystyle{u_n\over
v_n}\cdot$

Si $u_n\sim v_n$, alors, \`a partir d'un certain rang, le signe de $u_n$
est \'egal \`a celui de $v_n$.} \so

\tx{Comparaison des suites de r\'ef\'erence: $$n\mapsto a^n,\ n\mapsto
n^{\alpha}, \ n\mapsto (\ln n)^{\beta},\ n\mapsto n!$$ o\`u $a>0$,
$\alpha\in\R$, $\beta\in\R$. } {Exemples simples de d\'eveloppements asymptotiques. Toute \'etude syst\'ematique
est exclue; en particulier, la notion g\'en\'erale d'\'echelle de
comparaison est hors programme.} \so

\tit{e) Th\'eor\`emes d'existence de limites}

\tx{Toute suite croissante major\'ee $(u_n)$ converge, et
$$\lim_nu_n=\sup_nu_n.$$

\so
Extension au cas d'une suite croissante non
major\'ee.} {La d\'emonstration de ce th\'eor\`eme est hors programme.} \so

\tx{Suites adjacentes.}{Cas particulier de la dichotomie.}

\so
\tit{f) Br\`eve extension aux suites complexes}

\tx{Suites \`a valeurs complexes; parties r\'eelle et
imaginaire d'une suite; conjugaison.
\so
Suites born\'ees. } {Notations $\re u_n$, $\im u_n$, $\bar u_n$, $|u_n|$.} \so

\tx{
Limite d'une suite \`a valeurs complexes; caract\'erisation \`a l'aide des parties
r\'eelle et imaginaire.}
{Toute suite convergente est born\'ee.}

\so
\txv{Op\'erations alg\'ebriques sur les limites. \so
} \so


\titre{2- Fonctions d'une variable r\'eelle \`a valeurs r\'eelles}

{\sl Pour la notion de limite d'une fonction $f$ en un point $a$ (appartenant
\`a $I$ ou extr\'emit\'e de $I$), on adopte les d\'efinitions suivantes:

-~\'Etant donn\'es des nombres r\'eels $a$ et $b$, on dit que $f$ admet
$b$ pour limite au point $a$ si, pour tout nombre r\'eel $\varepsilon>0$,
il existe un nombre r\'eel $\delta>0$ tel que, pour tout \'el\'ement $x$
de $I$, la relation $|x-a|\ie\delta$ implique la relation
$|f(x)-b|\ie\varepsilon$; le nombre $b$ est alors unique, et on le note
$\lim_{x\rightarrow a}f$. Lorsqu'un tel nombre $b$ existe, on dit que $f$
admet une limite finie au point $a$.

-~On d\'efinit de mani\`ere analogue la notion de limite lorsque
$a=+\infty$ ou $a=-\infty$, ou lorsque $b=+\infty$ ou $b=-\infty$. \so

Dans un souci d'unification, on dit qu'une propri\'et\'e portant sur une
fonction d\'efinie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie
sur l'intersection de $I$ avec un intervalle ouvert de centre $a$ lorsque
$a\in\R$, avec un intervalle $]c,+\infty[$ lorsque $a=+\infty$ et avec un
intervalle $]-\infty,c\,[$ lorsque $a=-\infty$.

\so
En ce qui concerne le comportement global et local (ou asymptotique) d'une
fonction, il convient de combiner l'\'etude de probl\`emes qualitatifs
(monotonie, existence de z\'eros, existence d'extremums, existence de
limites, continuit\'e, d\'erivabilit\'e$\ldots$) avec celle de probl\`emes
quantitatifs (majorations, encadrements, caract\`ere lipschitzien,
comparaison aux fonctions de r\'ef\'erence au voisinage d'un
point$\ldots$).

%Tout autre vocabulaire topologique est hors programme.

} \so

\tit{a) Fonctions d'une variable r\'eelle \`a valeurs r\'eelles}

\tx{Ensemble des fonctions \`a valeurs r\'eelles, op\'erations, relation d'ordre.

Fonctions major\'ees, minor\'ees. Fonctions born\'ees. }
{D\'efinition de $|f|$, $\sup(f,g)$, $\inf(f,g)$.} \so

\tx{D\'efinition d'un extremum, d'un extremum local. } {Notations
$\dis\max_{x\in I}f(x)$ et $\dis\max_If$.} \so

\tx{D\'efinition de la borne sup\'erieure (inf\'erieure) d'une fonction. }
{Notations $\dis\sup_{x\in I}f(x)$ et $\dis\sup_If$.} \so

\tx{Fonctions monotones, strictement monotones; composition. } {} \so

\txv{Sous-espace vectoriel des fonctions paires, des fonctions impaires. }
 \so

\txv{Fonctions $T$-p\'eriodiques, op\'erations. } \so

\tit{b) \'Etude locale d'une fonction}

\tx{Limite d'une fonction $f$ en un point $a$, continuit\'e en un point.

Lorsque $b\in\R$, la relation $f(x)\rightarrow b$ \'equivaut \`a la
relation $f(x)-b\rightarrow 0$.

Lorsque $a\in\R$, la relation $f(x)\rightarrow b$ lorsque $x\rightarrow a$
\'equivaut \`a la relation $f(a+h)\rightarrow b$ lorsque $h\rightarrow0$.
} {Lorsque $a\in I$, dire que $f$ a une limite finie en $a$ \'equivaut \`a
la continuit\'e de $f$ en ce point. Lorsque $a\not\in I$, $f$ a une limite
finie en $a$ si et seulement si $f$ se prolonge par continuit\'e en ce
point.} \so

\tx{Limite \`a gauche, limite \`a droite.

Continuit\'e \`a gauche, continuit\'e \`a droite. } {Les limites \`a
gauche (ou \`a droite) en $a$ sont d\'efinies par restriction de $f$ \`a
$I\,\cap\,]-\infty,a\,[$ (\`a $I\,\cap\,]a,+\infty[$).} \so

\tx{Toute fonction admettant une limite finie en un point est born\'ee au
voisinage de ce point. } {Toute fonction admettant une limite strictement
positive en un point est minor\'ee, au voisinage de ce point, par un
nombre r\'eel strictement positif.} \so

\txv{Espace vectoriel des fonctions tendant vers 0 en un point $a$; produit
d'une fonction born\'ee au voisinage de $a$ par une
fonction tendant vers 0 en $a$. } \so

\tx{Op\'erations alg\'ebriques sur les limites; compatibilit\'e du passage
\`a la limite avec la relation d'ordre. } {Si $|f(x)|\leq g(x)\ {\rm et}\
g(x)\tend 0$, alors $f(x)\tend 0$. \so

Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$, et si $g(x)\tend b$ et $h(x)\tend b$, alors
$f(x)\tend b$.} \so

\txv{Limite d'une fonction compos\'ee. Image d'une suite convergente. }

\so

\tx{Existence d'une limite d'une fonction monotone. } {Comparaison des
bornes (sup\'erieure ou in\-{f\'e}\-rieure) et des limites (\`a gauche ou \`a
droite).} \so

\tit{c) Relations de comparaison}

\tx{\'Etant donn\'es un point $a$ (appartenant \`a $I$ ou extr\'emit\'e de
$I$) et une fonction $\varphi$ \`a valeurs r\'eelles et ne s'annulant pas
sur $I$ priv\'e de $a$, d\'efinition d'une fonction $f$ \`a valeurs
r\'eelles, domin\'ee par $\varphi$ (n\'egligeable devant $\varphi$) au
voisinage de $a$. } {Notations $f={\rm O}(\varphi), \ f={\rm o}(\varphi)$.
\so

Caract\'erisations \`a l'aide du quotient $\dis{f\over\varphi}\cdot$} \so

\tx{D\'efinition de l'\'equivalence au voisinage de $a$ de deux fonctions
$f$ et $g$ \`a valeurs r\'eelles ne s'annulant pas sur $I$ priv\'e de $a$.
\'Equivalent d'un produit, d'un quotient. \so

Si $f=\varphi+h$, o\`u $h$ est n\'egligeable devant $\varphi$, alors
$f\sim\varphi$. } {Notation $f\sim g$. \so

Caract\'erisation \`a l'aide du quotient $\dis{f\over g}\cdot$ \so

Si $f\sim g$ alors, au voisinage de $a$, le signe de $f(x)$ est \'egal \`a
celui de $g(x)$.} \so

\txv{Application \`a la comparaison des fonctions usuelles.} \so

\tit{d) Fonctions continues sur un intervalle}

\tx{Ensemble ${\cal C}(I)$ des fonctions continues sur $I$ et \`a valeurs
r\'eelles, op\'erations.

Compos\'ee de deux fonctions continues. } {Si $f$ et $g$ sont continues, $|f|$,
$\sup(f, g)$ et $\inf(f, g)$ le sont.} \so

\txv{Restriction d'une fonction continue \`a un intervalle $J$ contenu
dans $I$.

Prolongement par continuit\'e en une extr\'emit\'e de $I$. } \so

\tx{Image d'un intervalle par une fonction continue. Th\'eor\`eme des valeurs
interm\'ediaires. Image d'un segment
par une fonction continue.

\so
Continuit\'e de la fonction r\'eciproque d'une fonction continue
strictement monotone. } {La d\'emonstration de ces trois r\'esultats
 ainsi que la notion de continuit\'e uniforme sont hors programme.

\so
Comparaison des repr\'esentations graphiques
d'une bijection et de la bijection r\'eciproque.} \so


\tit{e) Br\`eve extension aux fonctions \`a valeurs complexes}

\tx{Fonctions \`a valeurs complexes; parties r\'eelle et
imaginaire d'une fonction; conjugaison.
\so
Fonctions born\'ees. } {Notations $\re f$, $\im f$, $\bar f$, $|f|$.} \so

\tx{
Limite d'une fonction \`a valeurs complexes en un point $a$,
continuit\'e en $a$;
caract\'erisation \`a l'aide des parties
r\'eelle et imaginaire.}
{Toute fonction admettant une limite en un point est born\'ee au voisinage
de ce point.}

\so
\txv{Op\'erations alg\'ebriques sur les limites. \so

Ensemble ${\cal C}(I)$ des fonctions continues sur $I$ \`a valeurs
complexes. } \so


%%%%%%%%

\Titre{II. CALCUL DIFF\'ERENTIEL ET INT\'EGRAL}

{\sl
Le programme est organis\'e autour de trois axes:

-~d\'erivation en un point et sur un intervalle;

-~int\'egration sur un segment des fonctions continues par morceaux, \`a partir
de l'int\'egration des fonctions en escalier;

-~th\'eor\`eme fondamental reliant l'int\'egration et la d\'erivation; exploitation
de ce th\'eor\`eme pour le calcul diff\'erentiel et int\'egral, et notamment pour
les formules de Taylor.


\so

L'\'etude g\'en\'erale de la d\'erivation et de l'int\'egration doit \^etre illustr\'ee
par de nombreux exemples portant sur les fonctions usuelles (vues en d\'ebut d'ann\'ee) et celles qui s'en
d\'eduisent.
\so

Les fonctions consid\'er\'ees dans cette partie sont d\'efinies sur un intervalle
$I$ de \R\ contenant au moins deux points et, dans les trois premiers
chapitres, sont \`a valeurs r\'eelles.}
\so

\titre{1- D\'erivation des fonctions \`a valeurs r\'eelles}

\tit{a) D\'eriv\'ee en un point, fonction d\'eriv\'ee}

\tx{D\'erivabilit\'e en un point: d\'eriv\'ee, d\'eriv\'ee \`a gauche, \`a droite.
\so

Extremums locaux des fonctions d\'erivables.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre et savoir exploiter l'interpr\'etation
graphique et l'inter\-{pr\'e}\-ta\-tion cin\'ematique de la notion de d\'eriv\'ee en un
point.}
\so

\tx{D\'erivabilit\'e sur un intervalle, fonction d\'eriv\'ee. Op\'erations sur les
d\'eriv\'ees: lin\'earit\'e, produit, quotient, fonctions compos\'ees, fonctions
r\'eciproques.
}
{Notations $f'$, D$f$, $\dis{\hbox{\rm d}f\over \hbox{\rm d}x}\cdot$}
\so

\tx{Pour $0\ie k\ie\infty$, ensemble ${\cal C}^k(I)$ des fonctions de classe ${\cal C}^k$; op\'erations. D\'eriv\'ee $n$-i\`eme d'un produit (formule de Leibniz).
}
{Notations $f^{(k)}$, $D^{\,k}f$, $\dis{\hbox{\rm d}^kf\over\hbox{\rm
d}x^k}\cdot$}
\so

\txv{Br\`eve extension aux fonctions \`a valeurs complexes}

\so

\tit{b) \'Etude globale des fonctions d\'erivables}

\tx{Th\'eor\`eme de Rolle, \'egalit\'e des accroissements finis.
\so

In\'egalit\'e des accroissements finis:

si $m\ie f'\ie M$, alors $m(b-a)\ie f(b)-f(a)\ie M(b-a);$


\so

Caract\'erisation des fonctions constantes, monotones et strictement
monotones parmi les fonctions d\'erivables.
}
{Pour le th\'eor\`eme de Rolle, l'\'egalit\'e et l'{in\'e}\-ga\-li\-{t\'e} des accroissements
finis, ainsi que pour la caract\'erisation des fonctions monotones, on
suppose $f$ continue sur $[a,b]$ et d\'erivable sur $]a,b[$. Le th\'eor\`eme de Rolle
est admis.
\so

Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'interpr\'etation graphique et cin\'ematique
de ces r\'esultats.}
\so

\tx{Application de l'in\'egalit\'e des accroissements finis \`a l'\'etude des suites d\'efinies par une relation de r\'ecurrence $$u_{n+1}=f(u_n).$$}{Voir le chapitre 4- Approximation.}

\so
\tx{Si $f$ est continue sur $[a,b]$, de classe ${\cal C}^1$ sur $]a,b]$ et
si $f'$ a une limite finie en $a$, alors $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur
$[a,b]$.
}
{Br\`eve extension au cas d'une limite infinie.}
\so
\tit{c) Br\`eve extension aux fonctions \`a valeurs complexes}

\tx{D\'erivabilit\'e en un point, caract\'erisation \`a l'aide des parties r\'eelle
et imaginaire; op\'erations sur les fonctions d\'erivables. Ensemble ${\cal
C}^k(I)$ des fonctions de classe ${\cal C}^k$ \`a valeurs complexes, o\`u $0\ie
k\ie+\infty$, op\'erations; d\'eriv\'ee $n$-i\`eme d'un produit.
}
{Caract\'erisation des fonctions constantes.

Il convient de montrer, \`a l'aide d'un contre-exemple, que le th\'eor\`eme de
Rolle ne s'\'etend pas.}
\so
\titre{2- Int\'egration sur un segment des fonctions \`a valeurs r\'eelles}

{\sl Le programme se limite \`a l'int\'egration des fonctions continues par
morceaux sur un segment. Les notions de fonction r\'egl\'ee et de fonction
int\'egrable au sens de Riemann sont hors programme.

%En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient
%de d\'efinir la convergence absolue de l'int\'egrale d'une fonction continue
%sur un intervalle quelconque, mais, en math\'ematiques, aucune connaissance
%sp\'ecifique sur ce point n'est exigible des \'etudiants.
}
\so

\tit{a) Fonctions continues par morceaux}

\tx{D\'efinition d'une fonction $\varphi$ en escalier sur $[a,b]$, d'une

subdivision de $[a,b]$ subordonn\'ee \`a $\varphi$. Ensemble des fonctions en
escalier sur un segment.
}
{}
\so

\txv{Ensemble des fonctions continues par morceaux sur un segment; op\'erations.
}
\so

\tx{Approximation des fonctions continues par morceaux sur un segment par
des fonctions en escalier: \'etant donn\'ee une fonction $f$ continue par
morceaux sur $[a,b]$, pour tout r\'eel $\eps>0$, il existe des fonctions
$\varphi$ et $\psi$ en escalier sur $[a,b]$ telles que: $$\varphi\leq
f\leq\psi\quad{\rm et}\quad\psi-\varphi\leq\eps.$$
}
{La d\'emonstration de ce r\'esultat est hors programme.}
\eject

\tit{b) Int\'egrale d'une fonction continue par morceaux}

\tx{Int\'egrale d'une fonction en escalier sur un segment. Lin\'earit\'e.
Croissance.

Int\'egrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.

\so
Notations $\int_{I}f$, $\int_{[a,b]}f$.
\so

D\'efinition de $\int_a^bf(t)dt$, o\`u $a$ et $b$ appartiennent \`a $I$.

\so Lin\'earit\'e.
Croissance; in\'egalit\'e $|\int_If|\leq\int_I|f|$.

Additivit\'e par rapport \`a l'intervalle d'int\'egration, relation de Chasles.

\so
Invariance de l'int\'egrale par translation.
}
{Pour introduire la notion d'int\'egrale d'une fonction \`a
valeurs positives, il convient de s'appuyer sur la notion d'aire. Aucune difficult\'e th\'eorique ne doit
\^etre soulev\'ee sur la notion d'aire.

\bigskip
Toute d\'emonstration est hors programme.}
\so

\tx{Valeur moyenne d'une fonction.
}
{}
\so

\tx{In\'egalit\'e de la moyenne $$\left|\int_{[a,b]}fg\right|\leq
\sup\limits_{[a,b]}|f|\int_{[a,b]}|g|.$$
}
{En particulier $$\left|\int_{[a,b]}f\right|\leq(b-a)\,
\sup\limits_{[a,b]}|f|.$$

Toute autre formule ou \'egalit\'e dite de la moyenne est hors programme.}
\so

\tx{Une fonction $f$ continue et \`a valeurs positives sur un segment est
nulle si et seulement si son int\'egrale est nulle.

}
{}
\so



\tx{Approximation d'une int\'egrale par la m\'ethode des rectangles, par la m\'ethode des trap\`ezes.
}
{}
\so

\tit{c) Br\`eve extension aux fonctions \`a valeurs complexes}

\txv{Par d\'efinition, $$\int_If=\int_I\re f+{\rm i}\int_I\im f.$$
\so

Lin\'earit\'e, relation de Chasles et in\'egalit\'e de la moyenne.}



\titre{3- Int\'egration et d\'erivation}

{\sl Dans cette partie, les fonctions consid\'er\'ees sont \`a valeurs r\'eelles ou complexes.}

\so
\tit{a) Primitives et int\'egrale d'une fonction continue}

\tx{D\'efinition d'une primitive d'une fonction continue.

Deux primitives d'une m\^eme fonction diff\`erent d'une cons\-tante.}
{Il convient de montrer sur des exemples que cette d\'efinition ne peut \^etre
\'etendue sans changement au cas des fonctions continues par morceaux.}
\so

\txv{Th\'eor\`eme fondamental: \'etant donn\'es une fonction $f$ continue sur un
intervalle $I$ et un point $a\in I$,
\so

-~la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,\hbox{\rm d}t$ est
l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$;
}
\so

\tx{-~pour toute primitive $h$ de $f$ sur $I$, $$\int_a^x f(t)\,\hbox{\rm
d}t=h(x)-h(a).$$
}
{Pour toute fonction $f$ de classe ${\cal C}^1$ sur $I$,
$$f(x)-f(a)=\int_a^x f'(t)\,\hbox{\rm d}t.$$}
\eject

\tit{b) Calcul des primitives}

\tx{Int\'egration par parties pour des fonctions de classe ${\cal C}^1$.
}
{}
\so

\tx{Changement de variable: \'etant donn\'ees une fonction $f$ continue sur $I$
et une fonction $\varphi$ \`a valeurs dans $I$ et de classe ${\cal C}^1$ sur
$[\alpha,\beta]$,
$$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(t)\,\hbox{\rm d}t
=\int_\alpha^\beta f\big(\varphi(u)\big)\,\varphi'(u)\,\hbox{\rm d}u.$$
}
{Il convient de mettre en valeur l'int\'er\^et de changements de variable
affines, notamment pour exploiter la p\'eriodicit\'e et les sym\'etries, ou pour
se ramener, par param\'etrage du segment $[a,b]$, au cas o\`u l'intervalle
d'int\'egration est $[0,1]$ ou $[-1,1]$.}
\so

\tx{Primitives des fonctions usuelles.}{Pour les fonctions rationnelles, on se limite
\`a des cas simples: aucune th\'eorie de la d\'ecomposition en \'el\'ements simples n'est
au programme.}






\tit{c) Formules de Taylor}

\tx{Pour une fonction de classe ${\cal C}^{p+1}$ sur $I$, formule de Taylor
avec reste int\'egral \`a l'ordre $p$ en un point $a$ de $I$.


Majoration du reste: in\'egalit\'e de Taylor-Lagrange.
}{Relation $f(x)=T_p(x)+R_p(x)$, o\`u $$T_p(x)=\dis{\sum_{n=0}^p{(x-a)^n\over
n!}D^{\,n}f(a)}.$$}

\so

\tit{d) D\'eveloppements limit\'es}

\tx{D\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ d'une fonction au voisinage
d'un point; op\'erations alg\'ebriques sur les {d\'e}\-velop\-pe\-ments limit\'es:
somme, produit; d\'eveloppement limit\'e de $\dis u\mapsto{1\over 1-u}$,
application au quotient. } {Les \'etudiants doivent savoir d\'eterminer
sur des exemples simples le d\'eveloppement limit\'e d'une fonction
compos\'ee. Aucun r\'esultat {g\'en\'e}\-ral sur ce point n'est exigible.}

\so

\tx{Existence d'un d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $p$ pour une fonction de
classe ${\cal C}^p$: formule de Taylor-Young.

\so
D\'eveloppement limit\'e d'une primitive, d'une d\'eriv\'ee ({d\'e}\-mons\-tra\-tions non exigibles).
}{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les {d\'eveloppe}\-ments limit\'es des fonctions exponentielle, sinus et cosinus, sinus et cosinus hyperboliques ainsi que de la fonction
$$x\mapsto (1+x)^\alpha,\ \alpha\in\R.$$}

\txv{Application \`a l'\'etude des points singuliers (ou stationnaires) des courbes
param\'etr\'ees planes.}

\so
\titre{4- Approximation}

{\sl Dans cette partie sont regroup\'ees un certain nombre de m\'ethodes d\'ebouchant sur des calculs approch\'es par la mise en place d'algorithmes. Aucune connaissance n'est exigible concernant les erreurs; seul leurs ordres de grandeur doivent \^etre connus des \'etudiants. \`A cette occasion, on pourra introduire la notion de rapidit\'e de convergence d'une suite mais aucune connaissance n'est exigible sur ce point.

\so
Les algorithmes pr\'esent\'es ne sont regroup\'es que pour la commodit\'e de la pr\'esentation; leur \'etude doit intervenir au fur et \`a mesure de l'avancement du programme.}

\so
\tit{a) Calcul approch\'e des z\'eros d'une fonction}

{\sl On consid\`ere ici des fonctions $f:I\tend \R$, o\`u $I$ est un intervalle de $\R$.}

\so
\tx{M\'ethode de dichotomie.}{Pratique d'un test d'arr\^et.}

\so

\tx{Utilisation de suites r\'ecurrentes (m\'ethode d'approximations successives).}
{Le th\'eor\`eme du point fixe de Cauchy est hors programme sous forme g\'en\'erale mais les \'etudiants doivent savoir utiliser l'in\'egalit\'e des accroissements finis pour justifier une convergence.}

\so
\tx{M\'ethode de Newton et algorithme de Newton-Raphson.
Convergence dans le cas d'une fonction $f$ de classe ${\cal C}^2$ telle que $f''$ ne s'annule pas, si la valeur initiale $x_0$ est telle que $f(x_0)f''(x_0)\geq0$.}
{On d\'egagera, sur des exemples, le caract\`ere quadratique de la convergence.}

\eject
\tit{b) Calcul approch\'e d'une int\'egrale}

\tx{Pr\'esentation d'un algorithme associ\'e \`a la m\'ethode des trap\`ezes.
Int\'er\^et d'utiliser des subdivisions dichotomiques.}{On admettra que pour une fonction de classe ${\cal C}^1$, l'erreur est un $O\Bigl({1\over n^2}\Bigr)$ o\`u $n$ est le nombre de points de subdivision.}

\so
\tit{c) Valeur approch\'ee de r\'eels}

\tx{On pr\'esentera, sur des exemples, quelques algorithmes de calcul de nombres r\'eels remarquables ($\pi,\ \e, \sqrt2$, etc.).}{On pourra utiliser les algorithmes vus {pr\'ec\'e}\-dem\-ment.}


\so


%\tit{c) Approximation d'une int\'egrale par la m\'ethode des trap\`ezes}

%\tx{\'Etant donn\'ee une fonction $f$ de classe ${\cal C}^2$ sur $[a,b]$ et
%une subdivision $S=(a_0,\ldots,a_n)$ de $[a,b]$ \`a pas constant,
%approximation de $\int_a^bf(t)\,\hbox{\rm d}t$ par $$I_n(f)=\dis{{b-a\over
%2n}\sum_{j=0}^{n-1}\big[f(a_j)+f(a_{j+1})\big]}.$$
%Majoration $$\bigg|\int_a^bf(t)\,\hbox{\rm d}t -I_n(f)\bigg|
%\ie{(b-a)^3\over12n^2}\,M_2(f).$$
%}
%{Cette m\'ethode consiste \`a approcher $f$, sur chaque intervalle
%$[\alpha,\beta]$ de la subdivision $S$, par la fonction affine $\varphi$
%telle que $\varphi(\alpha)=f(\alpha)$ et $\varphi(\beta)=f(\beta)$, et \`a
%exploiter la majoration suivante, valable pour tout \'el\'ement $t$ de
%$[\alpha,\beta]$, $$|f(t)-\varphi(t)|\ie{(t-a)(b-t)\over2}\,M_2(f).$$
%}
%\so

\so

\Titre{III. NOTIONS SUR LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES R\'EELLES}

{\sl Cette partie constitue une premi\`ere prise de contact avec les fonctions de
plusieurs variables; toute technicit\'e est \`a \'eviter aussi bien pour la
pr\'esentation du cours qu'au niveau des exercices et probl\`emes.
\so

L'objectif, tr\`es modeste, est triple:

-~\'etudier quelques notions de base sur les fonctions de deux variables
r\'eelles (continuit\'e et d\'erivation);

-~introduire la notion d'int\'egrale double;

-~exploiter les r\'esultats obtenus pour l'\'etude de probl\`emes, issus
notamment des autres disciplines scientifiques.
\so

En vue de l'enseignement de ces disciplines, il convient d'\'etendre
bri\`evement ces notions aux fonctions de trois variables r\'eelles. Mais, en
math\'ematiques, les seules connaissances exigibles des \'etudiants ne portent
que sur les fonctions de deux variables.

Les suites d'\'el\'ements de $\R^2$ et les fonctions d'une variable r\'eelle \`a
valeurs dans $\R^2$ ont d\'ej\`a \'et\'e \'etudi\'ees en se ramenant aux suites et
fonctions \`a valeurs r\'eelles par passage aux coordonn\'ees (cf. I.1-f)
et I.2-e)).}
\so

\titre{1- Calcul diff\'erentiel}

{\sl Les fonctions consid\'er\'ees dans ce chapitre sont d\'efinies sur une
partie $A$ de $\R^2$ qui est muni de la norme euclidienne usuelle; l'\'etude g\'en\'erale
des normes sur $\R^2$ est hors programme. Pour la pratique, on se limite aux cas o\`u $A$ est
d\'efinie par des conditions simples.
}
\so
\tit{a) Notion de continuit\'e}

\tx{D\'efinition de la limite $0$ en un point.

\so
Continuit\'e en un point.}{La continuit\'e est introduite uniquement en vue de l'\'etude de la classe ${\cal C}^1$. Tous les r\'esultats seront admis et on insistera sur l'interpr\'etation graphique.}

\so
\txv{}

\so
\tit{b) D\'eriv\'ees partielles premi\`eres}

\tx{D\'efinition des d\'eriv\'ees partielles, not\'ees
D${}_jf(a)$ ou $\dis{\partial f\over\partial x_j}(a)$.

\so
D\'efinition du gradient.
\so
D\'efinition des fonctions de classe ${\cal C}^1$ sur $A$ (les d\'eriv\'ees
partielles sont continues).
}
{En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner la notation diff\'erentielle $\d f$, mais aucune connaissance sur ce point n'est exigible en ma\-{th\'e}\-ma\-tiques.}
\so


\txv{Calcul de la d\'eriv\'ee d'une fonction compos\'ee de la forme $f\circ\varphi$, o\`u
$\varphi$ est de classe ${\cal C}^1$ sur un intervalle $I$ et \`a valeurs
dans $A$.

\so Application au calcul des d\'eriv\'ees partielles d'une fonction compos\'ee de
la forme $f\circ\varphi$, o\`u $\varphi$ est une application de classe ${\cal
C}^1$ de $\R^2$ et \`a valeurs dans $\R^2$.}
\so

\tx{En un point de $\R^2$ o\`u une fonction $f$ de classe ${\cal C}^1$ sur $\R^2$
pr\'esente un extremum local, ses d\'eriv\'ees partielles sont nulles.
}
{}
\so

\tit{ c) D\'eriv\'ees partielles d'ordre $2$}

\tx{Th\'eor\`eme de Schwarz.
}
{La d\'emonstration est hors programme.}

\so
\txv{Exemples simples d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles, {\'equa}\-tion des cordes
vibrantes.}

\titre{2- Calcul int\'egral}

\tx{Int\'egrales doubles sur une partie born\'ee d\'efinie par des conditions simples.

\so
Exemples de calculs par int\'egrations successives.

\so
Exemples de calcul d'aires planes, de masses, de centres et de moment d'inertie}
{Les propri\'et\'es de positivit\'e, lin\'earit\'e, additivit\'e par rapport au domaine d'int\'egration doivent \^etre \'enonc\'ees sans d\'emonstration.}
\so

\TITRE{ALG\`EBRE}


{\sl Le programme d'alg\`ebre est organis\'e autour des
concepts fondamentaux d'espace vectoriel et d'application lin\'eaire, et
de leurs interventions en alg\`ebre, en analyse et en g\'eom\'etrie. La
ma\^{\i}trise de l'alg\`ebre lin\'eaire \'el\'ementaire en dimension finie
constitue un objectif essentiel. \so

Le cadre d'\'etude est bien d\'elimit\'e: br\`eve mise en place des
concepts d'espace vectoriel, d'application lin\'eaire, de sous-espaces
vectoriels suppl\'ementaires; en
dimension finie, \'etude des concepts de base, de dimension et de rang,
mise en place du calcul matriciel. \so

La ma\^{\i}trise de l'articulation entre le point de vue g\'eom\'etrique
(vecteurs et points) et le point de vue matriciel constitue un objectif
majeur. \so

Pour les groupes, le programme se limite \`a
quelques d\'efinitions de base et aux exemples usuels; toute \'etude
g\'en\'erale de cette structure est hors programme. \so

Le point de vue algorithmique est
\`a prendre en compte pour l'ensemble de ce programme.} \so

\Titre{I. NOMBRES ET STRUCTURES ALG\'EBRIQUES USUELLES}

\titre{1- Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications (\`a acqu\'erir progressivement)}

\so

{\sl Le programme se limite strictement aux notions de base figurant
ci-dessous. Ces notions doivent \^etre acquises progressivement par les
\'etudiants au cours de l'ann\'ee, au fur et \`a mesure des exemples
rencontr\'es dans les diff\'erents chapitres d'alg\`ebre, d'analyse et de
g\'eom\'etrie. Elles ne doivent en aucun cas faire l'objet d'une \'etude
exhaustive bloqu\'ee.} \so



Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble ${\cal P}(E)$ des parties de
$E$. Op\'erations sur les parties: intersection, r\'eunion,
compl\'ementaire. Produit de deux ensembles.\so


Application de $E$ dans (vers) $F$. Image directe (resp. r\'eciproque) d'une partie de $E$ (resp. de $F$).\so

Ensemble ${\cal F}(E,F)$ des applications de $E$ dans $F$. Ensemble $E^I$
des familles $(x_i)_{i\in I}$ d'\'el\'ements d'un ensemble $E$ index\'ees
par un ensemble $I$.\so

Compos\'ee de deux applications, application identique. Restriction et
prolongements d'une application.\so

\'Equations, applications injectives, surjectives, bijectives. Application
r\'eciproque d'une bijection. Compos\'ee de deux bijections.\so


D\'efinition d'une loi de composition interne. Associativit\'e,
commutativit\'e, \'el\'ement neutre. D\'efinition des \'el\'ements
inversibles pour une loi associative admettant un \'el\'ement neutre.\so



\titre{2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, d\'enombrements}

{\sl
En ce qui concerne les nombres entiers naturels et les ensembles finis,
l'objectif principal est d'acqu\'erir la ma\^{\i}trise du raisonnement par
r\'ecurrence. Les propri\'et\'es de l'addition, de la multiplication et de
la relation d'ordre dans \N\ sont suppos\'ees connues; toute construction
et toute axiomatique de \N\ sont hors programme. \so

L'\'equipotence des ensembles infinis et la notion d'ensemble
d\'enombrable sont hors programme. \so

En ce qui concerne la combinatoire, le programme se limite strictement aux
exemples fondamentaux indiqu\'es ci-dessous. \so

La d\'emonstration des r\'esultats de ce chapitre n'est pas exigible des
\'etudiants.}

\bigskip
\tit{a) Nombres entiers naturels}

\tx{Propri\'et\'es fondamentales de l'ensemble \N\ des nombres entiers
naturels. Toute partie non vide a un plus petit \'el\'ement; principe de
r\'ecurrence. Toute partie major\'ee non vide a un plus grand \'el\'ement.
} {Les \'etudiants doivent ma\^{\i}triser le raisonnement par {r\'e}\-cur\-rence
simple ou avec pr\'ed\'ecesseurs.} \so

\tx{Suites d'\'el\'ements d'un ensemble $E$ (index\'ees par une partie de
\N). Suite d\'efinie par une relation de r\'ecurrence et une condition
initiale. } {} \so

\tx{Exemples d'utilisation des notations
$$a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{1\leq p\leq n}a_p,\quad a_1a_2\cdots
a_n=\prod_{1\leq p\leq n}a_p.$$

Suites arithm\'etiques, g\'eom\'etriques. Notations $na$ et $a^n$.
} {Symbole $n!$ (on convient que $0!=1$).} 

\bigskip
\tit{b) Ensembles finis}

\tx{D\'efinition: il existe $n$ et une bijection de $\[1,n\]$ sur $E$; cardinal
(ou nombres d'\'el\'ements) d'un ensemble fini, notation $\card\,E$. On
convient que l'ensemble vide est fini et que $\card(\emptyset)=0$. } {On admet
que s'il existe une bijection de $\[1,p\]$ sur $\[1,n\]$, alors $p=n$.

\'Etant donn\'es deux ensembles finis $E$ et $F$ de m\^eme cardinal, et
une application $f$ de $E$ dans $F$, $f$ est bijective si et seulement si
$f$ est surjective ou injective.} \so

\tx{Toute partie $E'$ d'un ensemble fini $E$ est finie et
$$\card\,E'\leq\card\,E,$$ avec \'egalit\'e si et seulement si $E'=E$.}
{Une partie non vide $P$ de \N\ est finie si et seulement si elle est
major\'ee. Si $P$ est finie non vide, il existe une bijection strictement


croissante et une seule de l'intervalle $\[1,n\]$ sur $P$, o\`u
$n=\card\,P$.}

\bigskip
\tit{c) Op\'erations sur les ensembles finis, d\'enombrements}

\tx{Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E\cup F$ l'est aussi;
cardinal d'une r\'eunion finie de parties finies disjointes.

\so
Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E\times F$ l'est aussi et
$$\card\,(E\times F)=\card\,E\cdot\card\,F.$$ } {Les \'etudiants doivent
conna\^{\i}tre la relation $\card(A\cup B)=\card\,A+\card\,B-\card(A\cap
B).$} \so

\txv{Cardinal de l'ensemble ${\cal F}(E,F)$ des applications de $E$ dans
$F$; cardinal de l'ensemble ${\cal P}(E)$ des parties de $E$. Cardinal de
l'ensemble des bijections (permutations) de $E$. } {} \so

\txv{Cardinal $\cnp{n}{p}$ de l'ensemble des parties ayant $p$ \'el\'ements
d'un ensemble $E\vphantom{(^(}$ \`a $n$ \'el\'ements. Combinaisons.


\so
Relations
$$\dis\cnp{n}{p}=\cnp{n}{n-p},\qquad\sum_{p=0}^n\cnp{n}{p}=2^n,$$
$$\cnp{n}{p}=\cnp{n-1}{p}+\cnp{n-1}{p-1}\,\hbox{\rm (triangle de
Pascal).}$$\so Interpr\'etation ensembliste de ces relations} {} \so

\tx{Ensemble \Z\ des nombres entiers, ensemble \Q\ des nombres
rationnels. Relation d'ordre, valeur absolue. } {Les constructions de \Z\ et
de \Q\ sont hors programme.} \so

\vfill\eject
\titre{3- Ensembles de nombres}

{\sl

Pour la notion de groupe, le programme se limite strictement aux d\'efinitions indiqu\'ees
ci-dessous. Ces notions doivent \^etre acquises progressivement par les
\'etudiants au cours de l'ann\'ee, au fur et \`a mesure des exemples
rencontr\'es dans les diff\'erents chapitres d'alg\`ebre, d'analyse et de
g\'eom\'etrie.}

\so

\tit{a) Vocabulaire relatif aux groupes et aux ensembles de nombres}

\tx{D\'efinition d'un groupe, d'un sous-groupe, d'un morphisme de groupes,
d'un isomorphisme.

\so
Groupe additif \Z\ des nombres entiers. Multiplication dans \Z, propri\'et\'es.

\so Ensemble \Q\ des nombres rationnels, op\'erations.}
 {Ces notions doivent \^etre
illustr\'ees par des exemples issus:

-~des ensembles de nombres, notamment \Z, \R\ et
\C;

-~de l'alg\`ebre lin\'eaire et de la g\'eom\'etrie.}\so





\tit{b) Arithm\'etique dans \Z. Calculs dans \R\ ou \C.}

 \tx{Multiples et
diviseurs d'un entier, division euclidienne.

\so
D\'efinition des nombres premiers. Existence et unicit\'e de la
d\'ecomposition d'un entier strictement positif en produit de facteurs
premiers. } {La d\'emonstration de l'existence et de l'unicit\'e de la
d\'ecomposition en facteurs premiers est hors programme.} \so

\tx{ Formule du bin\^ome. Relation
$$x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}y^k.$$

Somme des $n$ premiers termes d'une suite g\'eom\'etrique. } {On
g\'en\'eralisera en cours d'ann\'ee au cas d'{\'e}\-{l\'e}\-ments qui commutent dans les
anneaux de matrices ou d'endomorphismes.} \so


\titre{4- Polyn\^omes}

{\sl L'objectif est d'\'etudier, par des m\'ethodes \'el\'ementaires, les
propri\'et\'es de base des polyn\^omes, et
de les exploiter pour la r\'esolution de probl\`emes portant
sur les \'equations alg\'ebriques et les fonctions num\'eriques. \so

Le programme se limite au cas o\`u le corps de base est \K, o\`u \K\
d\'esigne \R\ ou \C.} \so

\tit{a) Polyn\^omes \`a une ind\'etermin\'ee
% et corps $\K(X)$
}

\tx{Ensemble $\K[X]$ des polyn\^omes \`a une ind\'etermin\'ee \`a
coefficients dans \K; op\'erations.}
{Aucune connaissance sur la construction de $\K[X]$
n'est exigible des \'etudiants.}

\so
\tx{
Degr\'e d'un polyn\^ome (on convient que le degr\'e de 0 est $-\infty$),
coefficient dominant, polyn\^ome unitaire (ou normalis\'e). Degr\'e d'un
produit, d'une somme; les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a
$p$ constituent un sous-espace vectoriel de $\K[X]$.

%Corps $\K(X)$ des fractions rationnelles, degr\'e d'une fraction rationnelle.
} {Notation $a_0+a_1\,X+\cdots+a_p\,X^p$ ou, le cas \'ech\'eant,
$\dis\sum_{n=0}^{+\infty}a_n X^n$.} \so

 \so

\tx{Multiples et diviseurs d'un polyn\^ome, polyn\^omes associ\'es.
Division euclidienne dans $\K[X]$, algorithme de la division euclidienne.
} {Les notions de PGCD, de PPCM et de polyn\^omes premiers entre eux sont
hors programme.} \so


\tit{b) Fonctions polynomiales
%et rationnelles
}

\tx{Fonction polynomiale associ\'ee \`a un polyn\^ome. \'Equations
alg\'ebriques. Z\'eros (ou racines) d'un polyn\^ome; ordre de
multiplicit\'e. Isomorphisme entre polyn\^omes et fonctions polynomiales.
} {Reste de la division euclidienne d'un polyn\^ome $P$ par $X-a$;
caract\'erisation des z\'eros de $P$. \so

%Algorithme de Horner pour le calcul des valeurs d'une fonction
%polynomiale.
} \so

%\tx{Fonction rationnelle associ\'ee \`a une fraction rationnelle. Z\'eros et
%p\^oles d'une fraction rationnelle; ordre de multiplicit\'e.
%}
%{}
\so

\tit{c) Polyn\^ome d\'eriv\'e}

\txv{D\'efinition du polyn\^ome d\'eriv\'e. Lin\'earit\'e de la d\'erivation, d\'eriv\'ee d'un
produit. D\'eriv\'ees successives, d\'eriv\'ee $n$-i\`eme d'un produit (formule de
Leibniz).}

\so\tx{Caract\'erisation par la valeur des d\'eriv\'ees successives en $a$ de l'ordre de multiplicit\'e de la racine $a$.}{D\'emonstration non exigible.}


%Formule de Taylor, application \`a la recherche de l'ordre de
%multiplicit\'e d'un z\'ero.
%}
%{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les relations
%$$P(X)=\sum_{n=0}^{+\infty}\,{(X-a)^n\over n!}\,{P^{(n)}}(a),$$
%$$P(a+X)=\sum_{n=0}^{+\infty}\,{X^n\over n!}\,{P^{(n)}}(a).$$}
\so
\eject
\tit{d) Polyn\^omes scind\'es}

\tx{D\'efinition d'un polyn\^ome scind\'e sur \K; somme et produit des racines d'un polyn\^ome scind\'e. } {Aucune
connaissance sp\'ecifique sur le calcul des fonctions sym\'etriques des
racines d'un polyn\^ome n'est exigible des \'etudiants.} \so

\tx{Th\'eor\`eme de d'Alembert-Gauss. Description des polyn\^omes
irr\'eductibles de $\C[X]$ et de $\R[X]$. } {La d\'emonstration du
th\'eor\`eme de d'Alembert-Gauss est hors programme.} \so

\tx{D\'ecomposition d'un polyn\^ome en produit de facteurs {irr\'e}\-duc\-tibles
sur \C\ et sur \R. } {D\'ecomposition dans $\C[X]$ de $X^n-1$.} \so


\Titre{II. ALG\`EBRE LIN\'EAIRE}

{\sl L'objectif est double:

-~acqu\'erir les notions de base sur les espaces vectoriels de dimension
finie (ind\'ependance lin\'eaire, bases, dimension, sous-espaces
vectoriels suppl\'ementaires et projecteurs, rang), le calcul matriciel et
la g\'eom\'etrie du plan et de l'espace (droites et plans);

-~ma\^{\i}triser les relations entre le point de vue g\'eom\'etrique
(vecteurs et applications lin\'eaires) et
le point de vue matriciel.

Il convient dans l'\'etude de l'alg\`ebre lin\'eaire de r\'einvestir la
g\'eom\'etrie du plan et de l'espace \'etudi\'ee en d\'ebut d'ann\'ee et
d'illustrer les notions et les r\'esultats par de nombreuses figures. \so

En alg\`ebre lin\'eaire, le programme se limite au cas o\`u le corps de base est \K, o\`u \K\ d\'esigne \R\ ou \C.}
\so

\titre{1- Espaces vectoriels}

\tit{a) Espaces vectoriels}

\tx{D\'efinition d'un espace vectoriel sur \K, d'un
sous-espace vectoriel.}{Exemples~: espace $\K^n$, espaces
vectoriels de
suites ou de fonctions.}
\so
\tx{Intersection de sous-espaces
vectoriels. Sous-espace engendr\'e par une famille finie de vecteurs.}{}
\so
\tx{Somme de deux sous-espaces vectoriels.
Sous-espaces {suppl\'e}\-men\-taires, notation
$$E=E_1\oplus E_2.$$}
{La notion g\'en\'erale de somme directe est hors programme.}
\so

\txv{Espace vectoriel ${\cal F}(X,F)$ des
applications d'un ensemble $X$ dans un espace vectoriel $F$.
}
\so


\tit{b) Applications lin\'eaires}
\tx{D\'efinition d'une application lin\'eaire, d'une forme lin\'eaire,
d'un endomorphisme.
\so
Espace
vectoriel ${\cal L}(E,F)$ des applications lin\'eaires de $E$ dans $F$.}
{Homoth\'eties.
Projecteurs et sym\'etries associ\'es \`a deux sous-espaces suppl\'ementaires.

Exemples d'applications lin\'eaires en analyse, en g\'eom\'etrie.}

\so
\tx{Compos\'ee de deux applications lin\'eaires, r\'eciproque d'une
application lin\'eaire bijective. D\'efinition d'un isomorphisme, d'un
automorphisme.
D\'efinition du groupe lin\'eaire $\gle$.}
{L'\'etude g\'en\'erale du groupe lin\'eaire est hors programme.}


\so
\tx{\'Equations lin\'eaires; noyau et image d'une application lin\'eaire.
Ensemble des solutions de $u(x)=b$.
}
{Description de l'ensemble des solutions d'une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire.}
\so
\tx{Caract\'erisation des projecteurs par la relation $p^2=p$.
 Caract\'erisation des sym\'etries par la relation
$s^2=I_E$.}{}

\so



\titre{2- Dimension des espaces vectoriels}

\tit{a) Familles de vecteurs}
\tx{D\'efinition des combinaisons lin\'eaires de $p$ vecteurs \break
$x_1,x_2,
\ldots,x_p$ d'un espace vectoriel; image par une application lin\'eaire d'une
combinaison lin\'eaire.
}{Le cas
des familles index\'ees par un ensemble infini est hors programme.}

\so
\tx{Sous-espace engendr\'e par une famille finie de vecteurs.
D\'efinition d'une famille g\'en\'eratrice.

Ind\'ependance lin\'eaire~: d\'efinition d'une famille libre,
li\'ee.

D\'efinition d'une base; coordonn\'ees (ou composantes) d'un vecteur dans une
base. Base canonique de $\K^n$.

\'Etant donn\'es un espace vectoriel $E$ muni d'une base $(e_1,\ldots,e_p)$
et une famille $(f_1,\ldots,f_p)$ de vecteurs d'un espace vectoriel $F$, il
existe une application lin\'eaire $u$ et une seule de $E$ dans $F$ telle que
$u(e_j)=f_j$.
}
{La donn\'ee d'une famille de $p$ vecteurs \break
$(x_1,x_2, \ldots,x_p)$ d'un
\K-espace vectoriel $E$ {d\'e}\-termine une application lin\'eaire de $\K^p$ dans
$E$; noyau et image de cette application; ca\-rac\-{t\'e}\-risation des bases de $E$,
des familles {g\'e}\-{n\'e}\-ra\-trices, des familles libres.}
\so

\tit{b) Dimension d'un espace vectoriel}

\tx{D\'efinition d'un espace vectoriel de dimension finie (espace vectoriel
admettant une famille g\'en\'eratrice finie). Th\'eor\`eme de la base incompl\`ete,
existence de bases.
}
{}
\so

\tx{Toutes les bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie sont
finies et ont le m\^eme nombre d'\'el\'ements, appel\'e dimension de $E$. On
convient que l'espace vectoriel r\'eduit \`a $\{0\}$ est de dimension nulle.

Tout espace vectoriel de dimension $n$ est isomorphe \`a $\K^n$; deux espaces
vectoriels de dimension finie $E$ et $F$ sont isomorphes si et seulement si
$\dim E=\dim F$.
}
{\'Etant donn\'ee une famille $S$ de vecteurs d'un espace vectoriel de
dimension $n$:

-~si $S$ est libre, alors $p\ie n$, avec \'egalit\'e si et seulement si $S$ est
une base;

-~si $S$ est g\'en\'eratrice, alors $p\se n$, avec \'egalit\'e si et seulement si
$S$ est une base.}
\so



\tx{\'Etant donn\'es un espace vectoriel $E$ muni d'une base \break
$B=(e_j)$ et un
espace vectoriel $F$ muni d'une base $C=(f_i)$, une application lin\'eaire
$u$ de $E$ dans $F$ et un vecteur $x$ de $E$, expression des coordonn\'ees de
$y=u(x)$ dans $C$ en fonction des coordonn\'ees de $x$ dans $B$.
}
{\'Etant donn\'ee une forme lin\'eaire $\varphi$ sur $E$, expression de
$\varphi(x)$ en fonction des coordonn\'ees de $x$ dans $B$.}
\so

\tit{c) Dimension d'un sous-espace vectoriel}

\tx{Tout \sev\ $E'$ d'un espace vectoriel de dimension finie $E$ est de
dimension finie et $\dim E'\leq \dim E$, avec \'egalit\'e si et seulement si
$E'=E$. Rang d'une famille de vecteurs.
}
{}
\so

\tx{Existence de sous-espaces vectoriels suppl\'ementaires d'un sous-espace
vectoriel donn\'e; dimension d'un suppl\'ementaire.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre la relation $\dim(E+F)=\dim E+\dim F
-\dim(E\cap F)$.}
\so

\tit{d) Rang d'une application lin\'eaire}

\tx{\'Etant donn\'ee une application lin\'eaire $u$ de $E$ dans $F$, $u$
d\'efinit un isomorphisme de tout suppl\'ementaire de $\Ker u$ sur $\im u$;
en particulier, $$\dim E=\dim\Ker u+\dim\im u.$$
}
{Cas d'une forme lin\'eaire: caract\'erisation et \'equations d'un hyperplan.

\so
\so
La d\'emonstration de cette relation est hors programme.}
\so

\txv{Rang d'une application lin\'eaire, caract\'erisation des isomorphismes.
}

\so
\tx{Caract\'erisation des \'el\'ements inversibles de ${\cal L}(E)$.}{}
\so


\titre{3- Calcul matriciel}


\so

\tit{a) Op\'erations sur les matrices}

\tx{Espace vectoriel $\mnpk$ des matrices \`a $n$ lignes et $p$ colonnes sur
\K. Base canonique $(E_{i,j})$ de $\mnpk$; dimension de $\mnpk$.
Isomorphisme canonique de ${\cal L}(\K^p,\K^n)$ sur $\mnpk$. D\'efinition du
produit matriciel, bilin\'earit\'e.
}
{Identification des matrices colonnes et des vecteurs de $\K^n$, des
matrices lignes et des formes lin\'eaires sur $\K^p$.

\'Ecriture matricielle $Y=M\,X$ de l'effet d'une application lin\'eaire sur
un vecteur.}
\so

\tx{Ensemble $\mnk$ des matrices carr\'ees \`a $n$ lignes. Isomorphisme
canonique de ${\cal L}(\K^n)$ sur $\mnk$. Matrices
carr\'ees inversibles; d\'efinition du groupe lin\'eaire $\glnk$.
}
{Matrices diagonales, matrices triangulaires
su\-{p\'e}\-rieures (ou inf\'erieures).}
\so

\tx{Transpos\'ee d'une matrice. Compatibilit\'e avec les op\'erations alg\'ebriques
sur les matrices.
}
{}
\so

\tx{Matrices carr\'ees sym\'etriques, antisym\'etriques.
}
{Les matrices sym\'etriques et les matrices antisym\'etriques constituent des
sous-espaces sup\-pl\'ementaires.}
\so

\tit{b) Matrices et applications lin\'eaires}

\tx{Matrice $M_{B,C}(u)$ associ\'ee \`a une application lin\'eaire $u$ d'un
espace vectoriel $E$ muni d'une base $B$ dans un espace vectoriel $F$ muni
d'une base $C$. L'application $u\mapsto M_{B,C}(u)$ est un isomorphisme de
${\cal L}(E,F)$ sur $\mnpk$; dimension de ${\cal L}(E,F)$.

Matrice $M_B(u)$ associ\'ee \`a un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel
$E$ muni d'une base $B$. L'application $u\mapsto M_B(u)$ est un
isomorphisme d'alg\`ebres.

Matrice dans une base d'une famille finie de vecteurs, d'une famille finie
de formes lin\'eaires.
}
{La $j$-\`eme colonne de $M_{B,C}(u)$ est constitu\'ee des coordonn\'ees dans la
base $C$ de l'image par $u$ du $j$-\`eme vecteur de la base $B$.}
\so

\tx{Matrice de passage d'une base $B$ \`a une base $B'$ d'un espace vectoriel
$E$; effet d'un changement de base(s) sur les coordonn\'ees d'un vecteur, sur
l'expression d'une forme lin\'eaire, sur la matrice d'une application
lin\'eaire, sur la matrice d'un endomorphisme (les notions de matrices \'equivalentes, de matrices carr\'ees semblables sont hors programme).

\so
Cas o\`u le changement de base r\'esulte d'une rotation vectorielle en dimension 2 ou 3.}
{La matrice de passage de la base $B$ \`a la base $B'$ est, par d\'efinition,
la matrice de la famille $B'$ dans la base $B$: sa $j$-\`eme colonne est
constitu\'ee des coordonn\'ees dans la base $B$ du $j$-\`eme vecteur de la base
$B'$. Cette matrice est aussi $M_{B',B}(I_E)$.}
\so



\tit{c) Rang d'une matrice}

\tx{D\'efinition du rang d'une matrice (rang de l'application lin\'eaire
canoniquement associ\'ee, ou encore rang des vecteurs colonnes).
}
{Pour toute application lin\'eaire $u$ de $E$ dans $F$, le rang de $u$ est
\'egal au rang de $M_{B,C}(u)$, o\`u $B$ est une base de $E$ et $C$ une base de
$F$.
}
\so


\tx{Invariance du rang par transposition}
{D\'emonstration hors programme}

\so

\tit{d) Syst\`emes d'\'equations lin\'eaires}

\tx{\vglue5pt
D\'efinition, syst\`eme homog\`ene associ\'e; interpr\'etations. Description de
l'ensemble des solutions.

\so
Rang d'un syst\`eme lin\'eaire. Dimension de l'espace vectoriel des solutions
d'un syst\`eme lin\'eaire homog\`ene.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'interpr\'etation d'un syst\`eme de $n$
\'equations lin\'eaires \`a $p$ inconnues, \`a l'aide des vecteurs de $\K^n$, des
formes lin\'eaires sur $\K^p$, et d'une application lin\'eaire de $\K^p$ dans
$\K^n$ (ainsi que la traduction matricielle correspondante).}
\so

\tx{Existence et unicit\'e de la solution lorsque $r=n=p$ (syst\`emes de
Cramer). R\'esolution des syst\`emes de Cramer triangulaires. Exemples d'utilisation de la m\'ethode du pivot de Gauss.
}
{Le th\'eor\`eme de Rouch\'e-Fonten\'e et les matrices bordantes sont hors
programme.}
\so



\tit{e) D\'eterminants d'ordres 2 et 3}

\txv{D\'eterminant de deux vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de
dimension 2, de trois vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de
dimension 3. Caract\'erisation des bases.}

\so
\tx{Application \`a l'expression de la solution d'un syst\`eme de Cramer \`a
deux ou trois inconnues. } {On traitera le cas de la dimension 2 ;
 la d\'emonstration en dimension 3 sera faite en seconde ann\'ee.
Les principaux objectifs sont l'\'etude de l'ind\'ependance lin\'eaire et de
petits syst\`emes de Cramer, et les applications g\'eom\'etriques.} \so

\tx{D\'eterminant d'un endomorphisme,
du compos\'e de deux endomorphismes;
caract\'erisation des automorphismes.
} {Lorsque $\K=\R$, application \`a
l'orientation du plan, de l'espace; la donn\'ee d'une base d\'etermine une
orientation. Bases directes du plan ou de l'espace orient\'e. Produit
vectoriel de deux vecteurs de $\R^3$. } \so

\so
\tx{D\'eterminant d'une matrice carr\'ee. D\'eterminant du produit de deux
matrices.
}
{Calcul du d\'eterminant d'une matrice par {d\'e}\-ve\-lop\-pement selon les \'el\'ements d'une
rang\'ee.}





\bye