| 1- Ensembles, applications |
Ce chapitre figure au programme de la première période.
L'objectif est d'acquérir le vocabulaire usuel sur les ensembles, les applications et les relations. Toute étude systématique, a fortiori toute axiomatique, de la théorie des ensembles est exclue.
Le programme se limite strictement aux notions de base figurant ci-dessous. Ces notions doivent être acquises progressivement par les étudiants au cours de l'année, au fur et à mesure des exemples rencontrés dans les différents chapitres d'algèbre, d'analyse et de géométrie. Elles ne doivent pas faire l'objet d'une étude exhaustive bloquée en début d'année.
a) Ensembles, opérations sur les parties
Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble P(E) des parties de E. Opérations sur les parties: intersection, réunion, complémentaire. Produit de deux ensembles.
Les éléments x d'un ensemble E satisfaisant à une relation R(x) constituent une partie de E, ce qui permet d'interpréter en termes ensemblistes l'implication, la conjonction et la disjonction de deux relations, ainsi que la négation d'une relation.
b) Applications, lois de composition
Une application f de E dans (vers) F est définie par son ensemble de départ E, son ensemble d'arrivée F et son graphe G.
Ensemble F(E,F) des applications de E dans F. Ensemble EI des familles (xi)i Î I d'éléments d'un ensemble E indexées par un ensemble I.
Composée de deux applications, application identique. Restriction et prolongements d'une application.
Équations, applications injectives, surjectives, bijectives. Application réciproque d'une bijection. Composée de deux injections, de deux surjections, de deux bijections.
Notations E \hflf F, f:E® F, x® f(x), la première étant très commode, notamment pour la composition des applications.
Le programme ne distingue pas les notions de fonction et d'application. La notion de correspondance entre deux ensembles est hors programme.
Définition des images directe et réciproque d'une partie.
Aucune connaissance spécifique sur les images directes et les images réciproques n'est exigible des étudiants.
Définition d'une loi de composition interne. Associativité, commutativité, élément neutre. Définition des éléments inversibles pour une loi associative admettant un élément neutre.
Notations additive et multiplicative d'une loi de composition.
c) Relations d'ordre
Définition d'une relation d'ordre, ordre total, ordre partiel. Majorants, minorants, plus grand et plus petit élément.
La notion de borne supérieure (ou inférieure) n'est étudiée que dans le cadre des nombres réels et des fonctions à valeurs réelles. La notion d'élément maximal est hors programme.
| 2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements |
Ce chapitre figure au programme de la première période.
En ce qui concerne les nombres entiers naturels et les ensembles finis, l'objectif principal est d'acquérir la maîtrise du raisonnement par récurrence. Les propriétés de l'addition, de la multiplication et de la relation d'ordre dans N sont supposées connues; toute construction et toute axiomatique de N sont hors programme.
L'équipotence des ensembles infinis et la notion d'ensemble dénombrable sont hors programme.
En ce qui concerne la combinatoire, l'objectif est de consollider les acquis de la classe de Terminale S; le programme se limite strictement aux exemples fondamentaux indiqués ci-dessous.
La démonstration des résultats de ce chapitre n'est pas exigible des étudiants.
a) Nombres entiers naturels
Propriétés fondamentales de l'ensemble N des nombres entiers naturels. Toute partie non vide a un plus petit élément; principe de récurrence. Toute partie majorée non vide a un plus grand élément.
Les étudiants doivent maîtriser le raisonnement par récurrence simple ou avec prédécesseurs.
Suites d'éléments d'un ensemble E (indexées par une partie de N). Suite définie par une relation de récurrence et une condition initiale.
On admet qu'étant donnés une application f de E dans E et un élément a de E, il existe une suite (un) et une seule d'éléments de E satisfaisant à la relation de récurrence un+1=f(un) et à la condition initiale u0=a.
Exemples d'utilisation des notations a1+a2+¼+ap+¼+an, a1a2¼ap¼an, å1 £ p £ nap, Õ1 £ p £ nap.
Suites arithmétiques, suites géométriques. Notations na et an.
Symbole n! (on convient que 0!=1).
b) Ensembles finis
Définition: il existe une bijection de [[1,n]] sur E; cardinal (ou nombres d'éléments) d'un ensemble fini, notation Card E. On convient que l'ensemble vide est fini et que CardÆ = 0.
S'il existe une bijection de [[1,p]] sur [[1,n]], alors p=n.
Toute partie E¢ d'un ensemble fini E est finie et
|
Étant donnés deux ensembles finis E et F de même cardinal, et une application f de E dans F, f est bijective si et seulement si f est surjective ou injective.
Les étudiants doivent connaître des exemples de parties strictes de N en bijection avec N.
Une partie non vide P de N est finie si et seulement si elle est majorée. Si P est finie non vide, il existe une bijection strictement croissante et une seule de l'intervalle [[1,n]] sur P, où n=Card P.
c) Opérations sur les ensembles finis, dénombrements
Si E et F sont des ensembles finis, EÈF l'est aussi; cardinal d'une réunion finie de parties finies disjointes.
Si E et F sont des ensembles finis, E×F l'est aussi et
|
Les étudiants doivent connaître la relation Card(AÈB)=Card A+Card B-Card(AÇB).
Cardinal de l'ensemble F(E,F) des applications de E dans F; cardinal de l'ensemble P(E) des parties de E.
Étant donnés des ensembles finis E et F ayant respectivement p et n éléments, cardinal Anp de l'ensemble des injections de E dans F; arrangements. Cas des bijections; permutations.
Les étudiants doivent savoir utiliser ces résultats pour le dénombrement des p-listes d'éléments (des p-listes d'éléments distincts deux à deux) d'un ensemble fini.
Cardinal ([ n || p]), ou
|
Les étudiants doivent connaître les relations
|
|
ainsi que leur interprétation ensembliste.
| 3- Structures algébriques usuelles |
Ce chapitre figure au programme de la première période, sauf mention
expresse du contraire.
L'objectif est d'acquérir le vocabulaire élémentaire sur les structures algébriques usuelles suivantes: groupes, anneaux et corps, espaces vectoriels, algèbres. Toute étude des structures algébriques générales est hors programme.
Le programme se limite strictement aux notions de base indiquées ci-dessous. Ces notions doivent être acquises progressivement par les étudiants au cours de l'année, au fur et à mesure des exemples rencontrés dans les différents chapitres d'algèbre, d'analyse et de géométrie. Elles ne doivent pas faire l'objet d'une étude exhaustive bloquée en début d'année.
Vu l'importance capitale de l'algèbre linéaire, le programme comporte l'étude des concepts d'espace vectoriel, d'application linéaire et d'algèbre; cette étude fait l'objet d'un approfondissement dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie (cf. parties II et III).
En revanche, pour les groupes, les anneaux et les corps, le programme se limite à quelques définitions élémentaires et aux exemples usuels.
En algèbre linéaire, le programme se limite au cas où le corps de base est K, où K désigne R ou C.
a) Groupes
Définition d'un groupe, d'un sous-groupe, d'un morphisme de groupes, d'un isomorphisme. Noyau et image d'un morphisme de groupes.
Groupe additif Z des nombres entiers.
Ces notions doivent être illustrées par des exemples issus:
- en première période, des ensembles de nombres, notamment Z, R et C;
- en seconde période, de l'algèbre linéaire et de la géométrie.
b) Anneaux et corps
Définition d'un anneau (ayant un élément unité), d'un sous-anneau. Distributivité du produit par rapport au symbole sommatoire å.
Définition d'un corps (commutatif et non réduit à {0}), d'un sous-corps.
Ces notions doivent être illustrées par des exemples issus:
- des ensembles de nombres Z, Q, R, C;
- des polynômes et fractions rationnelles.
Anneau Z des nombres entiers, corps Q des nombres rationnels. Relation d'ordre, valeur absolue.
La construction de Z et de Q est hors programme.
Multiples et diviseurs d'un entier. Division euclidienne dans Z, algorithme de la division euclidienne. Numération décimale; numération binaire, algorithme d'exponentiation rapide.
Définition des nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition d'un entier strictement positif en produit de facteurs premiers.
La démonstration de l'existence et de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers est hors programme.
Calculs dans un anneau commutatif et dans un corps. Formule du binôme. Relation
|
Somme des n premiers termes d'une suite géométrique.
Brève extension au cas d'éléments qui commutent.
c) Espaces vectoriels
Définition d'un espace vectoriel sur K, définition d'un sous-espace vectoriel, d'une application linéaire, d'une forme linéaire. Composée de deux applications linéaires. Définition d'un isomorphisme, d'un endomorphisme, d'un automorphisme.
L'application réciproque d'une application linéaire bijective est linéaire.
Espace vectoriel produit E×F. Espace vectoriel F(X,F) des applications d'un ensemble X dans un espace vectoriel F. Espace vectoriel L(E,F) des applications linéaires de E dans F; linéarité des applications v® v°u et u® v°u.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples, et notamment:
- l'espace vectoriel Kn;
- l'espace vectoriel F(X,K) des applications d'un ensemble X dans K;
- les espaces vectoriels de suites et de fonctions;
- l'espace vectoriel Mn,p(K) des matrices à coefficients dans K à n lignes et p colonnes (en seconde période).
Équations linéaires; noyau et image d'une application linéaire. Description de l'ensemble des solutions de u(x)=b.
Définition des combinaisons linéaires de p vecteurs x1,x2,¼,xp d'un espace vectoriel; image par une application linéaire d'une combinaison linéaire. Définition des relations linéaires entre p vecteurs x1,x2,¼,xp d'un espace vectoriel.
On traite d'abord le cas d'une famille (x1,¼,xp), puis on étend brièvement ces notions au cas des familles finies (xi)i Î I. Le cas des familles indexées par un ensemble infini est hors programme.
Intersection de sous-espaces vectoriels; définition du sous-espace vectoriel engendré par une partie.
Description du sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs.
Somme F+G de deux sous-espaces vectoriels. Sous-espaces supplémentaires, notation E=FÅG. Projecteurs associés.
La notion générale de somme directe est hors programme.
d) Algèbres
Définition d'une K-algèbre associative unitaire; une telle algèbre est munie d'une structure d'anneau. Définition d'une sous-algèbre, d'un morphisme d'algèbres, d'un isomorphisme.
Algèbre F(X,K) des applications d'un ensemble X dans le corps K.
Algèbre L(E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E; homothéties, caractérisation des projecteurs par la relation p2=p.
Ces notions doivent être illustrées par des exemples, et notamment:
- la R-algèbre C des nombres complexes;
- l'algèbre K[X] des polynômes à coefficients dans K;
- les algèbres de suites et de fonctions;
- l'algèbre Mn(K) des matrices à coefficients dans K à n lignes et n colonnes (en seconde période).
L'étude générale des algèbres est hors programme.
| 4- Polynômes et fractions rationnelles |
Ce chapitre figure au programme de la première période.
L'objectif est d'étudier, par des méthodes élémentaires, les propriétés de base des polynômes et des fractions rationnelles, et d'exploiter ces objets formels pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
Le programme se limite au cas où le corps de base est K, où K désigne R ou C.
a) Algèbre K[X] et corps K(X)
Algèbre K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K.
Degré d'un polynôme (on convient que le degré de 0 est -¥), coefficient dominant, polynôme unitaire (ou normalisé). Degré d'un produit, d'une somme; les polynômes de degré inférieur ou égal à p constituent un sous-espace vectoriel de K[X].
Corps K(X) des fractions rationnelles, degré d'une fraction rationnelle.
Notation a0+a1 X+¼+ap Xp ou, le cas échéant, ån=0+¥an Xn.
Aucune connaissance sur la construction de K[X] et de K(X) n'est exigible des étudiants.
Multiples et diviseurs d'un polynôme, polynômes associés. Division euclidienne dans K[X], algorithme de la division euclidienne.
Les notions de PGCD, de PPCM et de polynômes premiers entre eux sont hors programme.
b) Fonctions polynomiales et rationnelles
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Équations algébriques. Zéros (ou racines) d'un polynôme; ordre de multiplicité. Isomorphisme entre polynômes et fonctions polynomiales.
Reste de la division euclidienne d'un polynôme P par X-a; caractérisation des zéros de P.
Algorithme de Horner pour le calcul des valeurs d'une fonction polynomiale.
Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle. Zéros et pôles d'une fraction rationnelle; ordre de multiplicité.
Définition du polynôme dérivé. Linéarité de la dérivation, dérivée d'un produit. Dérivées successives, dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibniz). Formule de Taylor, application à la recherche de l'ordre de multiplicité d'un zéro.
Les étudiants doivent connaître les relations
|
|
c) Polynômes scindés
Définition d'un polynôme scindé sur K; relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme scindé.
Aucune connaissance spécifique sur le calcul des fonctions symétriques des racines d'un polynôme n'est exigible des étudiants.
Théorème de d'Alembert-Gauss. Description des polynômes irréductibles de C[X] et de R[X].
La démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss est hors programme.
Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles sur C et sur R.
Décomposition dans C[X] de Xn-1.
d) Étude locale d'une fraction rationnelle
Existence et unicité de la partie entière d'une fraction rationnelle R; existence et unicité de la partie polaire de R relative à un pôle a. Lorsque a est un pôle simple de R, expressions de la partie polaire relative à ce pôle.
La démonstration de l'existence et de l'unicité de la partie polaire est hors programme.
Les étudiants doivent savoir calculer la partie polaire en un pôle double. En revanche, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies pour des pôles d'ordre supérieur ou égal à 3. La division des polynômes suivant les puissances croissantes est hors programme.
Lorsque K = C, toute fraction rationnelle R est égale à la somme de sa partie entière et de ses parties polaires. Existence et unicité de la décomposition de R en éléments simples.
Aucune connaissance spécifique sur la décomposition en éléments simples sur R n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
Exemples d'étude de problèmes de sommation.
Il convient de mettre en valeur les méthodes utilisées (emploi de récurrences, de polynômes¼).
Exemples de recherche de polynômes satisfaisant à des conditions données (interpolation, équations aux différences finies, équations différentielles¼).
Aucune connaissance spécifique sur les méthodes d'interpolation n'est exigible des étudiants.
§ Exemples d'obtention de la décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles.
§ Exemples d'étude d'équations algébriques à coefficients réels ou complexes.
En dehors du cas de zn=a, aucune connaissance spécifique sur les équations d'ordre supérieur ou égal à 3 n'est exigible des étudiants.
§ Pratique de la décomposition en éléments simples dans C(X) d'une fraction rationnelle n'ayant que des pôles simples ou doubles.
En dehors de ce cas, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies. L'obtention de décompositions en éléments simples n'est pas un objectif en soi; tout excès de technicité sur ce point est à éviter.