Le programme est organisé autour de quatre objectifs.

- Consolider les acquis de la classe de première année: étude des concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, applications linéaires, sous-espaces vectoriels supplémentaires et projecteurs, algèbres); étude des concepts fondamentaux relatifs aux espaces vectoriels de dimension finie (bases, dimension, rang, calcul matriciel) et à la géométrie affine du plan et de l'espace (sous-espaces affines, barycentres).

- Étudier de nouveaux concepts: somme directe de sous-espaces vectoriels, trace et déterminant d'un endomorphisme.

- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes linéaires issus de l'algèbre (étude des systèmes linéaires, des polynômes, des algèbres; interpolation, équations aux différences finies) et de l'analyse (récurrences linéaires et équations différentielles linéaires).

- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs et applications linéaires) et le point de vue matriciel.

Il convient d'étudier conjointement l'algèbre linéaire et la géométrie et, dans les deux cas, d'illustrer les notions et les résultats par de nombreuses figures.

Dans cette partie, le corps de base K est R ou C.

1. Espaces vectoriels, applications linéaires
2. Déterminants
3. Travaux pratiques

1- Espaces vectoriels; applications linéaires

a) Somme directe de sous-espaces vectoriels

Somme directe de sous-espaces vectoriels: définition de la somme åE_i d'une famille finie (E_i)_{i Î I} de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E; définition d'une somme directe ÅE_i d'une telle famille. Cas des sous-espaces vectoriels supplémentaires.

Dans l'espace vectoriel K[X], le sous-espace vectoriel K[X] P constitué des multiples d'un polynôme P de degré n+1 admet pour sous espace supplémentaire le sous-espace vectoriel K_n[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Lorsque E est de dimension finie et que la somme åE_i est directe,

dim  Å i  Ei= å i  dim Ei.

Alors, pour que E=ÅE_i, il faut et il suffit que

dimE= å i  dim Ei.

Lorsque E=ÅE_i alors, pour toute famille u_i d'appplications linéaires de E_i dans un espace vectoriel F, il existe une application linéaire u de E dans F et une seule telle que, pour tout i, u_i soit la restriction de u à E_i.

Famille (p_i) de projecteurs de E associée à une décomposition E=ÅE_i; relations p_i²=p_i, p_ip_j=0 si j ¹ i et I_{[   || E]}=åp_i.

Définition d'une base d'un espace vectoriel E de dimension finie adaptée à un sous-espace vectoriel F de E, à une décomposition en somme directe E=ÅE_i.

b) Image et noyau d'une application linéaire

Une application linéaire u de E dans F définit un isomorphisme de tout supplémentaire E¢ de Ker u sur Im u.

Application à l'interpolation de Lagrange: détermination des polynômes P prenant des valeurs données sur une famille (a₀,a₁,¼,a_n) d'éléments de K distincts deux à deux.

Soit u l'application de K[X] dans Kⁿ⁺¹ définie par u(P)=(P(a₀),P(a₁),¼,P(a_n)). Le noyau de u est constitué des multiples du polynôme N=Õ(X-a_j); en outre, u définit un isomorphisme de K_n[X] sur Kⁿ⁺¹.

Étant donnés un sous-espace vectoriel E¢ de E et deux sous-espaces supplémentaires F₁ et F₂ de E¢ dans E, le projecteur de E sur F₁ parallèlement à E¢ définit un isomorphisme de F₂ sur F₁.

Lorsque E et F sont de dimension finie, relation

dimIm u+dimKer u=dimE.

Caractérisation des isomorphismes à l'aide du rang. Invariance du rang par composition avec un isomorphisme.

Définition de l'espace dual E^* d'un espace vectoriel E.

Définition d'un hyperplan H de E. Étant donnée une forme linéaire j sur E non nulle, le sous-espace vectoriel H=kerj est un hyperplan de E; toute forme linéaire y nulle sur H est colinéaire à j.

Équations d'un hyperplan.

Étant donné un vecteur e non nul d'un espace vectoriel E de dimension finie, il existe une forme linéaire j sur E telle que j (e)=1.

Le vecteur nul est le seul vecteur de E sur lequel toute forme linéaire s'annule.

Formes linéaires coordonnées (j₁,j₂,¼,j_n) associées à une base B=(e₁,e₂,¼,e_n) de E. Les formes linéaires coordonnées constituent une base B^* de E^*, appelée base duale de B. La dimension de E^* est égale à n.

Dans ces conditions, B et B^* vérifient les relations d'orthogonalité de Kronecker

ji(ej)=dij

où   d_i^j=1 si j=i   et   d_i^j=0 sinon.

c) Trace d'un endomorphisme

Trace d'une matrice carrée; linéarité de la trace, relations Tr AB = Tr BA, Tr PMP^-1=Tr M. Trace d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.

Le rang d'un projecteur est égal à sa trace.

2- Déterminants

Le groupe symétrique est introduit en relation avec la notion de déterminant. Son étude n'est pas un objectif en soi.

Dans ce chapitre, les espaces vectoriels sont de dimension finie sur K.

a) Groupe symétrique

Définition du groupe S_n des permutations de [[1,n]]; cycles, transpositions. Décomposition d'une permutation en produit de transpositions. Signature e(s) d'une permutation s, signature d'une transposition.

Aucune connaissance sur la décomposition en cycles n'est exigible des étudiants.

L'application s®e(s) est un morphisme de S_n dans le groupe multiplicatif {-1,1}.

La démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.

b) Déterminant de n vecteurs

Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n. Déterminant de n vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de dimension n. Caractérisation des bases.

La démonstration de l'existence du déterminant n'est pas exigible des étudiants.

Application à l'expression de la solution d'un système de Cramer.

c) Déterminant d'un endomorphisme

Déterminant d'un endomorphisme, du composé de deux endomorphismes; caractérisation des automorphismes.

Application à l'orientation d'un espace vectoriel réel de dimension 2 ou 3.

d) Déterminant d'une matrice carrée

Déterminant d'une matrice carrée. Déterminant du produit de deux matrices, de la transposée d'une matrice. Développement par rapport à une ligne ou une colonne; cofacteurs.

Relation

M.tCom M=tCom M.M=( det M) In,

où Com M est la matrice des cofacteurs de M. Expression de l'inverse d'une matrice carrée.

Travaux pratiques

Exemples d'étude de l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Exemples de construction de bases et de sous-espaces vectoriels supplémentaires, et d'emploi de bases, de supplémentaires, de sommes directes et de changements de bases, notamment pour l'étude des équations linéaires.

§ Exemples d'étude de problèmes d'interpolation linéaire.

Il convient d'exploiter les espaces vectoriels d'endomorphismes, de matrices, de polynômes, de suites et de fonctions.

§ Exemples d'étude de systèmes d'équations linéaires.

Il convient de valoriser les interventions en géométrie.

§ Emploi des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice à coefficients numériques pour la résolution des systèmes de Cramer par l'algorithme du pivot partiel, le calcul de déterminants, l'inversion des matrices.