Cette partie est organisée autour de quatre objectifs:
- Étudier les polynômes d'un endomorphisme u et les sous-espaces stables par u.
- Étudier les valeurs propres et les sous-espaces propres d'un endomorphisme, en dimension finie ou non.
- Étudier les endomorphismes diagonalisables et les endomorphismes trigonalisables, en dimension finie.
- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes issus de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie.
En outre, le programme associe étroitement le point de vue géométrique et le point de vue matriciel.
Dans cette partie, le corps de base K est R ou C.
| 1- Sous-espaces stables, polynômes d'un endomorphisme |
a) Sous-espaces stables
Définition d'un sous-espace vectoriel F stable par un endomorphisme u d'un espace vectoriel E. Définition de l'endomorphisme de F induit par u.
Si les endomorphismes u et v commutent, Im u et keru sont stables par v.
Si E est de dimension finie, caractérisation des endomorphismes de E stabilisant un sous-espace vectoriel F par leur matrice dans une base de E adaptée à F.
Déterminant d'une matrice de la forme (
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Étant donné un espace vectoriel E de dimension finie et une famille (E1,E2,¼,Ep) de sous-espaces vectoriels dont E est somme directe, caractérisation des endomorphismes stabilisant les sous-espaces Ej par leur matrice dans une base de E adaptée à cette décomposition. Déterminant d'un tel endomorphisme, d'une matrice diagonale par blocs.
Étant donnée une base d'un espace vectoriel E de dimension finie, caractérisation géométrique des endomorphismes dont la matrice dans cette base est diagonale.
Définition d'un drapeau (E1,E2,¼,En) de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E de dimension n; caractérisation des endomorphismes stabilisant les sous-espaces Ej par leur matrice dans une base de E adaptée à ce drapeau.
Étant donnée une base d'un espace vectoriel E de dimension finie, caractérisation géométrique des endomorphismes dont la matrice dans cette base est triangulaire supérieure.
b) Polynômes d'un endomorphisme
La donnée d'un endomorphisme u de E définit un morphisme P®P(u) de l'algèbre K[X] dans l'algèbre L(E).
Pour tout élément P de K[X], Im P(u) et kerP(u) sont stables par u.
c) Théorème de décomposition des noyaux
Définition d'un idéal de l'anneau K[X]; structure des idéaux de K[X].
Polynômes premiers entre eux; théorème de Bézout, théorème de Gauss.
Noyau et image du morphisme P® P(u) de K[X] dans L(E). Idéal des polynômes annulateurs de u.
Théorème de décomposition des noyaux: si P et Q sont premiers entre eux, kerPQ(u)=kerP(u)ÅkerQ(u).
Extension au cas d'une famille finie de polynômes premiers entre eux deux à deux.
| 2- Réduction d'un endomorphisme |
Aucune connaissance spécifique sur les méthodes de mise sous forme
triangulaire n'est exigible des étudiants.
a) Valeurs propres, vecteurs propres d'un endomorphisme
Droites stables par un endomorphisme u d'un K-espace vectoriel E. Définition des valeurs propres, des vecteurs propres (le vecteur 0 n'est pas un vecteur propre), des sous-espaces propres El(u)=ker(u-lI[ || E]) d'un endomorphisme u de E.
Si les endomorphismes u et v commutent, les sous-espaces propres El(u) sont stables par v.
La notion de valeur spectrale est hors programme.
En dimension finie, l est une valeur propre de u si et seulement si u-lI[ || E] n'est pas inversible; l'ensemble des valeurs propres de u est alors appelé spectre de u et noté Sp (u).
Toute famille de p vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est libre.
La somme d'une famille finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est directe.
Étant donnés un endomorphisme u de E et un élément P de K[X], pour toute valeur propre l de u, P(l) est une valeur propre de P(u). Si P(u)=0, alors toute valeur propre l de u est un zéro du polynôme P.
Éléments propres des homothéties, des projecteurs, des affinités, des symétries.
En dimension finie, automorphisme u® aua-1 de l'algèbre L(E) défini par un élément a du groupe linéaire GL(E).
Relation entre les valeurs propres (les sous-espaces propres) de u et de aua-1.
b) Valeurs propres, vecteurs propres d'une matrice carrée
Définition des valeurs propres, des sous-espaces propres, des vecteurs propres et du spectre d'un élément M de Mn(K).
Un élément M de Mn(R) peut être considéré comme élément de Mn(C); le spectre de M dans R est contenu dans le spectre de M dans C.
Les éléments propres de M sont définis comme étant ceux de l'endomorphisme u de Kn canoniquement associé à M.
Automorphisme M® PMP-1 de l'algèbre Mn(K). Définition des matrices semblables; interprétation géométrique.
Spectre de deux matrices semblables.
c) Polynôme caractéristique
Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E de dimension finie. Ordre de multiplicité d'une valeur propre.
Lorsque ce polynôme est scindé, expression de la trace et du déterminant en fonction des valeurs propres.
Théorème de Cayley-Hamilton.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
d) Réduction d'un endomorphisme en dimension finie
Définition d'un endomorphisme u diagonalisable: l'espace vectoriel E est somme (directe) des sous-espaces propres El(u). Projecteurs pl associés; relation u=ållpl .
Inversement, si E est somme directe de sous-espaces vectoriels stables Ej sur lesquels u induit une homothétie, alors u est diagonalisable.
Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s'il existe une base formée de vecteurs propres de u, ou encore s'il existe une base dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Pour qu'un endomorphisme u de E soit diagonalisable, il faut et il suffit que la somme des dimensions des sous-espaces propres de u soit égale à dim E.
Tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé et a toutes ses racines simples est diagonalisable, et ses sous-espaces propres sont de dimension 1.
Pour qu'un endomorphisme u de E soit diagonalisable, il faut et il suffit qu'il annule un polynôme scindé dont toutes les racines sont simples.
Si u est diagonalisable, pour tout sous-espace vectoriel F de E stable par u, l'endomorphisme de F induit par u l'est aussi.
Définition d'un endomorphisme u trigonalisable: il existe une base telle que la matrice associée à u dans cette base soit triangulaire supérieure.
Aucune connaissance spécifique sur la notion de sous-espace caractéristique n'est exigible des étudiants.
Définition d'une matrice carrée M diagonalisable, trigonalisable. Pour que M soit diagonalisable (resp. trigonalisable), il faut et il suffit que M soit semblable à une matrice diagonale (resp. triangulaire supérieure).
Lorsque M est diagonalisable, M s'écrit sous la forme PDP-1, où D est diagonale et où P désigne la matrice de passage de la base canonique de Kn à une base de vecteurs propres de M. Cas des matrices trigonalisables.
| Travaux pratiques |
§ Exemples d'emploi du théorème de décomposition des noyaux (étude d'endomorphismes ou de matrices annulant un polynôme, recherche de bases de l'espace vectoriel des solutions d'une équation aux différences finies ou d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants).
Les étudiants doivent savoir déterminer les suites satisfaisant à une relation de récurrence un+2=a un+1+b un.
§ Exemples d'emploi de décompositions en blocs (produits, matrices diagonales par blocs, triangulaires par blocs).
Pour les produits par blocs, il convient de se limiter aux matrices de la forme (
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§ Exemples de réduction à la forme diagonale de matrices carrées sur C ou sur R.
§ Exemples d'étude du comportement des puissances d'une matrice.
Il convient de donner quelques exemples de matrices non diagonalisables, mais aucune méthode générale de réduction à la forme triangulaire n'est exigible des étudiants.