Cette partie est organisée autour de quatre objectifs:
- Étudier les propriétés fondamentales des espaces vectoriels normés de dimension finie, en vue de fournir un cadre cohérent pour l'étude des suites, des séries et des fonctions.
- Étudier le comportement global et asymptotique d'une suite ou d'une fonction.
- Décrire et mettre en oeuvre des algorithmes d'approximation d'un nombre ou d'un vecteur à l'aide de suites ou de séries et comparer leurs performances. Cette étude est menée en relation avec celle des fonctions et de l'algèbre linéaire, et avec les problèmes de mesure de grandeurs géométriques ou physiques.
- Exploiter les résultats de la théorie des fonctions pour l'étude de problèmes numériques (majorations d'expressions, problèmes d'optimisation, solutions d'équations numériques,¼).
| 1- Normes et distances, suites |
L'objectif est d'introduire les notions de norme sur un espace
vectoriel réel ou complexe (de dimension finie ou non) et de suite
convergente d'éléments d'un espace vectoriel normé.
Définition d'une norme, notée x®||x|| ou x® N(x), sur un espace vectoriel E réel ou complexe; distance associée, notée (x,y)® d (x,y). Boules.
Norme x®||x||=(x|x)1/2 associée à un produit scalaire (x,y)®(x|y) sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Suites convergentes, suites divergentes. Opérations algébriques sur les suites convergentes.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples issus de l'espace Kn, des espaces de matrices et de fonctions. Les étudiants doivent connaître notamment les normes N1, N2 et N¥ sur Kn et sur l'espace vectoriel C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs réelles ou complexes.
Définition d'une application k-lipschitzienne: composée d'applications lipschitziennes.
L'application x®||x|| est 1-lipschitzienne.
Comparaison de deux normes N et N¢ sur E: pour que toute suite convergeant vers 0 au sens de N converge vers 0 au sens de N¢, il faut et il suffit qu'il existe un nombre réel a > 0 tel que N¢ £ a N. Normes équivalentes.
Les étudiants doivent savoir comparer notamment les normes usuelles mentionnées ci-dessus.
| 2- Espaces vectoriels normés de dimension finie |
L'objectif de ce chapitre est triple:
- Étudier les propriétés fondamentales des espaces vectoriels normés de dimension finie (équivalence des normes, critère de Cauchy de convergence des suites et des séries).
- Étudier le comportement local et asymptotique d'une fonction, grâce aux concepts de limite et de continuité.
- Introduire quelques notions élémentaires sur la compacité.
L'équivalence des normes montre que de nombreux concepts importants sont indépendants du choix d'une norme: parties bornées, applications bornées, applications lipschitziennes; parties ouvertes, parties fermées, limite et continuité d'une application; suites convergentes, parties compactes, suites de Cauchy. Par conséquent, pour toutes ces notions, il est légitime de se placer dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie (sans préciser une norme particulière).
En ce qui concerne le comportement global et asymptotique d'une suite, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, convergence, divergence¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, vitesse de convergence ou de divergence par comparaison aux suites de référence usuelles, accélération de convergence¼).
De même, en ce qui concerne le comportement global et local (ou asymptotique) d'une fonction, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, existence de zéros, existence d'extrémums, existence de limites, continuité, dérivabilité¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, comparaison aux fonctions de référence au voisinage d'un point¼).
Les applications étudiées dans ce chapitre sont définies sur une partie A d'un espace vectoriel normé E de dimension finie sur R ou sur C et à valeurs dans un autre F.
Dans un souci d'unification, une propriété portant sur une fonction définie sur A est dite vraie au voisinage d'un point a si elle est vraie sur l'intersection de A avec une boule de centre a lorsque a est un point de E adhérent à A, avec un intervalle ]c,+¥[ lorsque E=R et a=+¥, avec un intervalle ]-¥,c[ lorsque E=R et a=-¥.
a) Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé de dimension finie
Sur un espace vectoriel de dimension finie E, toutes les normes sont équivalentes.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
Définition d'une partie bornée, d'une application bornée.
Espace vectoriel normé B(A,F) des applications bornées f de A dans F muni de la norme N¥(f)=supx||f(x)||.
Pour qu'une suite (un) d'éléments d'un espace vectoriel normé E de dimension finie soit convergente, il faut et il suffit que ses coordonnées dans une base de E soient convergentes.
Les coordonnées de la limite sont alors les limites des coordonnées.
Définition d'une suite de Cauchy. Toute suite de Cauchy de nombres réels ou complexes est convergente; plus généralement, toute suite de Cauchy d'éléments de E est convergente.
La démonstration de ce théorème n'est pas exigible des étudiants.
Relations de comparaison entre suites: domination et négligeabilité pour une suite (un) à valeurs vectorielles et une suite (an) à valeurs réelles. Équivalence pour deux suites (un) et (vn) à valeurs réelles ou complexes.
Notations un=O (an), un=o (an), un ~ vn.
b) Étude locale d'une application, continuité
Définition des parties ouvertes, des parties fermées. Réunion et intersection de parties ouvertes, de parties fermées.
Définition d'un point adhérent, d'un point intérieur à une partie. Caractérisation séquentielle des points adhérents, des parties fermées.
Les notions de voisinage d'un point, d'adhérence, d'intérieur et de frontière d'une partie, d'ouverts et de fermés relatifs à une partie sont hors programme.
Limite d'une application: soit f une application d'une partie A de E à valeurs dans F et a un point de E adhérent à A. Étant donné un élément b de F, on dit que f admet b comme limite au point a si, pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout élément x de A, la relation ||x-a|| £ d implique la relation ||f(x)-b|| £ e; le vecteur b est alors unique, et on le note b=limaf, ou encore b=limx® af(x). Lorsqu'un tel élément b existe, on dit que f admet une limite au point a.
Lorsque a appartient à A, f est dite continue au point a; alors, b=f(a). Dans le cas contraire, f admet une limite en a si et seulement si f se prolonge par continuité en ce point.
Dans le cas des fonctions d'une variable réelle, extension de cette définition lorsque a=+¥ ou a=-¥.
Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, extension de la notion de limite lorsque b=+¥ ou b=-¥.
Limite d'une application composée; opérations algébriques sur les limites.
Caractérisation d'une application admettant une limite à l'aide de ses coordonnées dans une base de F.
Limite de l'image d'une suite (un) admettant une limite a par une application f admettant une limite au point a.
Caractérisation séquentielle de la continuité d'une application en un point.
Relations de comparaison en un point; domination et négligeabilité pour une fonction f à valeurs vectorielles et une fonction j à valeurs réelles ne s'annulant pas en dehors du point.
Notations f=O (j) et f=o (j).
Applications continues. Continuité de la composée de deux applications continues, de la restriction d'une application continue; opérations algébriques sur les applications continues. Caractérisation de la continuité à l'aide des coordonnées dans une base de F.
Espace vectoriel C(A,F) des applications continues de A dans F, algèbre C(A) des fonctions à valeurs réelles ou complexes continues sur A.
Image réciproque d'une partie ouverte, d'une partie fermée par une fonction f continue sur E à valeurs réelles ou complexes. En particulier, si f est à valeurs réelles, alors pour tout nombre réel a, l'ensemble des points x tels que f(x) ³ a, ou tels que f(x)=a, est une partie fermée de E; de même l'ensemble des points x tels que f(x) > a est une partie ouverte de E.
Il convient de souligner l'intérêt de ces résultats pour démontrer qu'une partie est ouverte (ou fermée).
La caractérisation de la continuité par images réciproques des ouverts (des fermés) est hors programme.
c) Continuité des applications linéaires
Toute application linéaire u d'un espace vectoriel normé (E,N) de dimension finie dans un autre (F,N¢) est continue sur E.
Il existe un nombre réel k > 0 tel que, pour tout x, N¢(u(x)) £ k N(x); dans ces conditions, u est k-lipschitzienne.
Norme subordonnée aux normes N et N¢ d'une application linéaire u de E dans F:
|
Norme sur l'espace vectoriel L(E,F) associée à N et N¢.
Si u et v sont des applications linéaires,
|
Norme sur l'algèbre L(E) associée à N.
Si E, F et G sont de dimension finie, toute application bilinéaire B de E×F dans G est continue sur E×F.
Il convient de mettre en valeur des inégalités du type ||B(x,y)|| £ k ||x|| ||y||.
Continuité de l'application (l,x)®lx de K×E dans E, du produit scalaire sur un espace euclidien.
Continuité de (u,v)® uv dans l'algèbre L(E).
d) Compacité
Par définition, une partie compacte d'un espace vectoriel normé E de dimension finie est une partie fermée bornée.
Étant donnée une application continue f de A dans F, l'image par f d'une partie compacte de E incluse dans A est une partie compacte de F. Cas d'une fonction numérique continue sur un compact: existence d'extrémums.
La démonstration de ce théorème n'est pas exigible des étudiants.
| 3- Séries de nombres réels ou complexes |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Étudier la convergence des séries de nombres réels positifs.
- Étudier les séries absolument convergentes de nombres réels ou complexes, à partir des résultats obtenus pour les séries de nombres réels positifs.
a) Suites et séries
Série åun associée à une suite (un) de nombres réels ou complexes, suite (sp) des sommes partielles de cette série.
Il convient de mettre en valeur et d'exploiter la correspondance bijective entre suites et séries.
Définition d'une série convergente et de sa somme, notée ån=0+¥un. Espace vectoriel des séries convergentes.
Caractérisation de la convergence d'une série de nombres complexes à l'aide des parties réelle et imaginaire.
Si la série åun converge, un tend vers 0; la réciproque est fausse.
Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers zéro; majoration du reste.
Aucune autre connaissance spécifique sur les séries semi-convergentes n'est exigible des étudiants.
b) Séries de nombres réels positifs
Pour qu'une série åun de nombres positifs converge, il faut et il suffit que la suite (sp) des sommes partielles soit majorée. Alors ån=0+¥un=limpsp=suppsp.
Convergence des séries géométriques de nombres réels positifs, convergence des séries de Riemann.
Théorème de comparaison des séries de nombres réels positifs: soient (un) et (an) des suites de nombres réels positifs telles que un=O (an); alors la convergence de åan implique la convergence de åun.
Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une série géométrique, à une série de Riemann.
Développement décimal d'un nombre réel positif.
Comparaison logarithmique: si, pour tout entier n, un > 0 et an > 0, et si, à partir d'un certain rang,
|
Comparaison logarithmique à une série géométrique: règle de d'Alembert.
c) Séries de nombres réels ou complexes
Critère de Cauchy pour la convergence d'une série de nombres réels ou complexes.
Séries absolument convergentes (c'est-à-dire telles que å|un| < +¥). Toute série absolument convergente est convergente.
En outre, |ån=0+¥un| £ ån=0+¥|un|.
Série géométrique: la série åzn, où z appartient à C, est absolument convergente si et seulement si |z| < 1; sa somme est alors égale à [1/(1-z)].
En outre, si |z| ³ 1, cette série diverge.
Série exponentielle: pour tout nombre complexe z, la série å[(zn)/n!] est absolument convergente.
Par définition, expz=ån=0+¥[(zn)/n!].
| 4- Suites et séries de fonctions |
L'objectif de ce chapitre est de définir les modes usuels de
convergence ponctuelle des suites et séries de fonctions (convergence
simple, convergence uniforme, convergence uniforme sur tout segment,
convergence normale d'une série) et d'exploiter ces types de convergence
pour étudier la stabilité des propriétés des fonctions par passage à la
limite et l'approximation d'une fonction par des fonctions plus simples.
Il convient de souligner que, le plus souvent, la convergence simple ne suffit pas pour assurer la régularité de la limite d'une suite de fonctions. En revanche, l'étude systématique des différents modes de convergence des suites et des séries de fonctions n'est pas un objectif du programme.
Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles ou complexes.
a) Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale
Étant donnée une suite (fn) de fonctions définies sur I, définition de la convergence simple sur I, de la convergence uniforme sur I; convergence uniforme de (fn) sur tout segment de I.
Définitions correspondantes pour une série de fonctions.
Pour la convergence uniforme, le programme se limite aux fonctions bornées; cette convergence est définie à partir de la norme N¥ sur l'espace vectoriel B(I) des fonctions à valeurs complexes bornées sur I.
Soit a un point de I; si (fn) converge vers f uniformément sur I et si, pour tout n, fn est continue au point a, alors f l'est aussi.
Si (fn) converge vers f uniformément sur tout segment de I et si, pour tout n, fn est continue sur I, f l'est aussi. Continuité de la somme d'une série de fonctions continues uniformément convergente sur tout segment de I.
Extension de ce résultat au cas où a est une extrémité de I lorsque, pour tout n, fn admet une limite bn en a.
La démonstration de ces résultats n'est pas exigible des étudiants.
Une série åfn de fonctions réelles ou complexes définies sur I est dite normalement convergente sur I si la série numérique å||fn||¥ est convergente. Convergence normale sur tout segment de I.
Pour établir la convergence normale de åfn, il convient d'utiliser une série numérique convergente åan majorante, c'est-à-dire telle que, pour tout n, ||fn||¥ £ an.
Toute série åfn normalement convergente sur I est absolument et uniformément convergente sur I.
Alors, N¥(ån=0+¥fn) £ ån=0+¥N¥(fn).
b) Approximation des fonctions d'une variable réelle
Définition d'une fonction j en escalier sur [a,b], d'une subdivision de [a,b] subordonnée à j. Espace vectoriel des fonctions en escalier sur un segment.
Espace vectoriel des fonctions en escalier sur R (par définition, ces fonctions sont nulles en dehors d'un segment).
Définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur un segment.
Une fonction est dite continue par morceaux sur un intervalle quelconque si sa restriction à tout segment est continue par morceaux.
Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier.
Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment par des fonctions polynomiales. Approximation uniforme sur R des fonctions continues périodiques par des polynômes trigonométriques (complexes).
La démonstration des théorèmes de Weierstrass est hors programme.
| Travaux pratiques |
Exemples d'obtention de majorations et de minorations d'expressions réelles ou du module d'expressions complexes; exemples d'emploi pour l'étude de suites et de fonctions.
§ Exemples d'étude du comportement global et asymptotique de suites de nombres réels, de nombres complexes. Exemples de méthodes d'accélération de convergence.
Il convient d'entraîner les étudiants à exploiter la comparaison aux suites de référence et à classer des ordres de grandeur.
§ Exemples d'étude de suites de nombres réels ou complexes définies par une relation de récurrence un+1=f(un) et d'emploi d'une telle suite pour l'approximation d'un point fixe a de f.
Pour étudier la vitesse de convergence de un vers a, les étudiants doivent savoir exploiter le comportement local de f au voisinage de a et, notamment, une inégalité du type lipschitzien |f(x)-f(a)| £ k |x-a| où 0 £ k < 1, ou du type |f(x)-f(a)| £ l |x-a|2.
Exemples d'espaces vectoriels normés de fonctions, d'endomorphismes et de matrices; exemples de comparaison de normes.
§ Exemples d'étude de séries de nombres réels ou complexes.
§ Exemples d'obtention et d'emploi d'approximations uniformes de fonctions.