a) Organisation du travail de la classe

On ne saurait se borner à l'exposé, si parfait soit-il, de théories éventuellement suivies d'applications; il convient au contraire de centrer l'enseignement autour de l'étude de phénomènes et de problèmes mathématiques. En particulier, il est essentiel que l'approfondissement théorique ne soit coupé ni des problématiques qui le sous-tendent, ni des secteurs d'intervention qui le mettent en jeu. Deux objectifs essentiels sont à poursuivre:

- Promouvoir l'acquisition de méthodes et entraîner les étudiants à exploiter toute la richesse de la démarche mathématique; la classe est donc un lieu de découverte et d'exploitation de problématiques, un lieu d'analyse des phénomènes et des concepts, un lieu de réflexion et de débats sur l'architecture des contenus, les démarches suivies, les hypothèses d'un théorème, la portée des concepts mis en jeu et des résultats obtenus. Elle est aussi un lieu d'élaboration de synthèses ayant pour triple objectif de dégager clairement les idées et méthodes essentielles, de préciser leur portée pour la résolution de problèmes et, inversement, d'identifier les principales méthodes dont on dispose pour étudier un type donné de problème. Dans cette perspective, les enseignements combinent de façon organique la formulation et l'analyse de problèmes, l'élaboration de concepts, la présentation, la démonstration et la mise en oeuvre de résultats, ainsi que la mise en valeur de méthodes.

- Développer les capacités de communication. La pertinence des indications écrites et orales données par le professeur et la qualité de structuration des échanges interpersonnels jouent ici un rôle essentiel: qualités d'écoute et d'expression orale (formulation d'une question, d'une réponse, d'une idée¼), qualités de lecture et d'expression écrite (maîtrise du tableau, prise de notes, analyse d'un énoncé, mise au point de la rédaction d'un énoncé ou d'un raisonnement¼). La communication utilise des moyens diversifiés: non seulement le tableau, dont la maîtrise est un élément important, mais aussi le rétroprojecteur, l'ordinateur connecté à un dispositif de projection approprié.

b) Organisation du travail personnel des étudiants

Les travaux effectués en dehors du temps d'enseignement, à la maison ou au lycée, ont une importance capitale; leurs fonctions sont diversifiées:

- L'étude du cours joue un rôle central. Son objectif est triple; connaître les concepts et les résultats essentiels, acquérir la maîtrise des méthodes d'étude des problèmes, savoir analyser la portée des hypothèses et des résultats, les démarches et les techniques de raisonnement mises en jeu dans les démonstrations. L'étude du cours est donc indissociable de celle des problèmes.

- La résolution d'exercices d'entraînement, combinée avec l'étude du cours, a pour fonction d'affermir les connaissances de base des étudiants et d'évaluer leur capacité à les mettre en oeuvre sur des exemples simples. La résolution de tels exercices n'est donc pas un objectif en soi, et tout excès de technicité doit être évité. La maîtrise de ce type de questions est une exigence valable pour l'ensemble des étudiants.

- L'étude de questions plus complexes, sous forme de préparation d'activités en classe ou de problèmes à résoudre et à rédiger, alimente le travail de recherche, individuel ou en équipe, et permet aux étudiants d'évaluer leur capacité à mobiliser leurs connaissances de façon coordonnée. Au sein d'une même classe, les thèmes d'étude peuvent être diversifiés en fonction du projet de formation des étudiants.

- Les travaux individuels de rédaction en temps libre (solution d'un problème, mise au point d'exercices étudiés en classe, rapport de synthèse sur un thème d'étude, analyse critique d'un texte¼) visent essentiellement à développer les capacités d'expression écrite et de mise au point d'un raisonnement. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements, constituent des objectifs très importants. Ces travaux de rédaction doivent donc être fréquents, mais leur longueur doit rester raisonnable. Leur contenu peut être diversifié en fonction du projet de formation des étudiants.

- Les épreuves écrites en temps limité ont pour objectif principal de préparer les étudiants aux épreuves écrites des concours. Les connaissances exigibles dans ces épreuves ne doivent en aucun cas dépasser celles qui figurent au programme; si d'autres connaissances sont à mettre en oeuvre, toutes les indications utiles doivent être fournies aux étudiants. Quand il s'agit d'épreuves de concours de longueur importante, le barême doit en tenir compte. En première période des classes de première année, ces épreuves doivent être de taille raisonnable et de difficulté progressive, afin de ne pas décourager les étudiants et de leur permettre de rédiger clairement une solution.

- La recherche et l'exploitation (individuelle ou en équipe) de documents scientifiques contribue au développement des capacités d'autonomie. Elle permet aussi de développer l'ouverture d'esprit, grâce à la prise de connaissance de points de vue diversifiés sur une même question, et les capacités d'analyse et de synthèse, grâce à une étude comparée de ces points de vue. Elle permet enfin aux étudiants d'approfondir leurs connaissances en complément des travaux menés en classe ou en fonction de leurs centres d'intérêt et de leur projet de formation.

- La préparation et la mise en oeuvre d'exposés vise à développer les capacités d'organisation de la pensée et les qualités d'expression orale.

c) Évaluation et notation des étudiants

La communication des objectifs à atteindre et la mise en oeuvre de formes diversifiées d'évaluation peuvent aider de manière efficace les étudiants à progresser, à se situer et à affiner un choix d'orientation.

La pertinence du calibrage de la notation constitue un objectif important; ce calibrage doit être établi en relation avec les performances attendues des étudiants des classes de première année en début de seconde année ou celles attendues des étudiants de seconde année dans les épreuves de concours. Il convient d'éviter tant la surnotation, génératrice d'illusion, que la sousnotation, génératrice de découragement.

d) Interprétation et délimitation des programmes

Pour chacune des classes, les connaissances et les capacités exigibles des étudiants sont indiquées avec précision, de façon à combattre l'inflation théorique autant que l'excès de technicité. Il importe de souligner la nécessité impérieuse de respecter les limites du programme, tant au niveau de l'enseignement qu'à celui des épreuves d'évaluation. Un encyclopédisme relayé par la pratique du bachotage irait totalement à l'encontre du but recherché, qui tend à privilégier une formation de l'esprit scientifique fondée sur l'approfondissement d'un noyau limité de connaissances fondamentales. Il importe que cet état d'esprit trouve sa traduction dans les sujets des épreuves d'évaluation.