1. Systèmes linéaires d'ordre 1 à coefficients constants
2. Équations linéaires d'ordre 2
3. Équations non linéaires d'ordre 1
4. Travaux pratiques

1- Systèmes linéaires d'ordre 1 à coefficients constants

Étude du système X¢ = AX+B(t), où A est une matrice de taille n et B une application continue d'un intervalle I de R dans Rⁿ.

Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée (théorème admis).

Système homogène associé; structure de l'ensemble des solutions (théorème admis).

On explicitera l'existence et l'unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée, ainsi que la structure de l'ensemble des solutions dans le cas d'un système homogène dont la matrice est diagonale ou triangulaire.

2- Équations linéaires d'ordre 2

Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée (théorème admis). Dimension de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée (résultat admis).

Expression des solutions dans le cas où l'on connaît une solution de l'équation homogène associée ne s'annulant pas.

On considère les équations différentielles de la forme

a(x)y¢¢+b(x)y¢+c(x)y=f(x),

les fonctions a, b, c, f étant continues sur un intervalle I de R, sur lequel a ne s'annule pas.

3- Équations non linéaires d'ordre 1

En dehors du cas des équations à variables séparables, tout exercice d'intégration d'une équation différentielle non linéaire devra comporter l'indication d'une méthode.

Équations différentielles à variables séparables; cas particulier des équations incomplètes.

On illustrera la notion de courbe intégrale.

Définition d'un système autonome de deux équations différentielles du premier ordre:

ì ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï î dx dt =j(x,y) dy dt =y(x,y)

et de ses trajectoires, dans le cas où j et y sont de classe C¹ sur un ouvert W de R².

Tout théorème d'existence et unicité des trajectoires d'un système autonome est hors programme.

Travaux pratiques

Résolution de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants de la forme X¢=AX+B(t), par diagonalisation ou trigonalisation de A, ou par réduction de la taille du système.

$ Algorithme de recherche de solutions approchées d'une équation différentielle scalaire d'ordre 1 ou d'un système autonome de deux équations d'ordre 1 par la méthode d'Euler.

Exemples d'utilisation de changements de variable ou de fonction.

Exemples de transformation d'une équation différentielle du premier ordre en un système autonome de deux équations.

$ * Exemples de construction de courbes intégrales d'une équation différentielle, de trajectoires d'un système autonome de deux équations différentielles d'ordre 1. On se limitera à des exemples simples principalement issus de la physique ou des sciences industrielles.

Exemples simples d'utilisation d'une intégrale première.

Exemples d'étude de problèmes issus de la mécanique ou de la physique conduisant à une équation différentielle du premier ou du second ordre.