Cette partie figure au programme de la première période, sauf mention
expresse du contraire.
Le programme est organisé autour de trois axes:
- Dérivation en un point et sur un intervalle; notions sur la convexité.
- Intégration sur un segment des fonctions continues par morceaux, à partir de l'intégration des fonctions en escalier.
- Théorème fondamental reliant l'intégration et la dérivation; exploitation de ce théorème pour le calcul différentiel et intégral, et notamment pour les formules de Taylor.
Aussi bien pour l'étude locale que pour l'étude globale des fonctions, le programme combine de manière indissociable les outils du calcul différentiel et du calcul intégral.
L'étude générale de la dérivation et de l'intégration doit être illustrée par de nombreux exemples portant sur les fonctions usuelles (qui, par commodité de rédaction, ne figurent qu'au chapitre 6) et celles qui s'en déduisent.
Les fonctions considérées dans cette partie sont définies sur un intervalle I de R contenant au moins deux points et, dans les trois premiers chapitres, sont à valeurs réelles.
| 1- Dérivation des fonctions à valeurs réelles |
a) Dérivée en un point, fonction dérivée
Dérivabilité en un point: dérivée, dérivée à gauche, à droite.
Extremums locaux des fonctions dérivables.
Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter l'interprétation graphique et l'interprétation cinématique de la notion de dérivée en un point.
La dérivabilité à gauche et à droite n'implique pas la dérivabilité.
Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée. Opérations sur les dérivées: linéarité, produit, quotient, fonctions composées, fonctions réciproques.
Notations f¢, Df, [df/dx].
La démonstration du théorème concernant la dérivabilité d'une fonction réciproque est hors programme.
Algèbre Ck(I) des fonctions de classe Ck, où 0 £ k £ +¥. Dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibniz).
Notations f(k), D kf, [(dkf)/(dxk)].
b) Étude globale des fonctions dérivables
Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis.
Inégalité des accroissements finis:
- si m £ f¢ £ M, alors m(b-a) £ f(b)-f(a) £ M(b-a);
- si |f¢| £ k, alors |f(b)-f(a)| £ k (b-a).
Caractérisation des fonctions constantes, monotones et strictement monotones parmi les fonctions dérivables.
Pour le théorème de Rolle, l'égalité et l'inégalité des accroissements finis, ainsi que pour la caractérisation des fonctions monotones, on suppose f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Les étudiants doivent connaître l'interprétation graphique et cinématique de ces résultats.
c) Fonctions convexes
(Seconde période)
* Définition, interprétation graphique (tout sous-arc est sous sa corde).
Croissance des pentes des sécantes dont on fixe une extrémité.
Inégalité de convexité: si lj ³ 0 et åj=1nlj=1, alors
|
Si f est de classe C2, f est convexe si et seulement si f¢¢ est positive. La courbe est alors située au dessus de chacune de ses tangentes *.
L'étude de la continuité et de la dérivabilité des fonctions convexes est hors programme.
| 2- Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles |
Le programme se limite à l'intégration des fonctions continues par
morceaux sur un segment. Les notions de fonction réglée et de fonction
intégrable au sens de Riemann sont hors programme.
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de définir la convergence absolue de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle quelconque, mais, en mathématiques, aucune connaissance spécifique sur ce point n'est exigible des étudiants.
a) Fonctions continues par morceaux
Définition d'une fonction j en escalier sur [a,b], d'une subdivision de [a,b] subordonnée à j. Opérations sur les fonctions en escalier.
Définition des fonctions continues par morceaux sur un segment.
* Approximation des fonctions continues par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier: étant donnée une fonction f continue par morceaux sur [a,b], pour tout réel e > 0, il existe des fonctions j et y en escalier sur [a,b] telles que:
|
La démonstration de ce résultat est hors programme.
b) Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment. Linéarité. Croissance.
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Notations òIf, ò[a,b]f. Linéarité.
Croissance; inégalité |òIf| £ òI|f|.
Additivité par rapport à l'intervalle d'intégration.
Invariance de l'intégrale par translation.
Il convient d'interpréter graphiquement l'intégrale d'une fonction à valeurs positives en termes d'aire. Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée sur la notion d'aire.
Les démonstrations de ces résultats ne sont pas exigibles des étudiants. * Dans le cadre de l'horaire de 9 heures, elles sont hors programme; il convient de s'appuyer alors sur l'interprétation en termes d'aire pour introduire l'intégrale *.
Valeur moyenne d'une fonction.
Inégalité de la moyenne
|
En particulier
|
Toute autre formule ou égalité dite de la moyenne est hors programme.
Une fonction f continue et à valeurs positives sur un segment est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.
Produit scalaire (f,g)®òIfg sur l'espace vectoriel C(I); inégalité de Cauchy-Schwarz.
Définition de òabf(t) dt, où a et b appartiennent à I. Linéarité. Inégalité de la moyenne. Relation de Chasles.
| 3- Intégration et dérivation |
a) Primitives et intégrale d'une fonction continue
Définition d'une primitive d'une fonction continue.
Deux primitives d'une même fonction différent d'une constante.
Il convient de montrer sur des exemples que cette définition ne peut être étendue sans changement au cas des fonctions continues par morceaux.
Théorème fondamental: étant donnés une fonction f continue sur un intervalle I et un point a Î I,
- la fonction x®òax f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a;
- pour toute primitive h de f sur I,
|
Pour toute fonction f de classe C1 sur I,
|
Intégration par parties pour des fonctions de classe C1.
Changement de variable: étant données une fonction f continue sur I et une fonction j à valeurs dans I et de classe C1 sur [a,b],
|
Il convient de mettre en valeur l'intérêt de changements de variable affines, notamment pour exploiter la périodicité et les symétries, ou pour se ramener, par paramétrage du segment [a,b], au cas où l'intervalle d'intégration est [0,1] ou [-1,1].
b) Formules de Taylor
Pour une fonction de classe Cp+1 sur I, formule de Taylor à l'ordre p en un point a de I.
* Expression intégrale du reste *.
Majoration du reste: inégalité de Taylor-Lagrange.
Relation f(x)=Tp(x)+Rp(x), où
|
Développement limité d'une primitive, d'une dérivée.
Existence d'un développement limité à l'ordre p pour une fonction de classe Cp: formule de Taylor-Young.
| 4- Dérivation et intégration des fonctions à valeurs complexes |
L'objectif est d'effectuer une très brève extension des notions et
propriétés suivantes, vues pour les fonctions à valeurs réelles, aux
fonctions définies sur un intervalle I et à valeurs complexes.
Par identification de C à R2, les notions de ce chapitre s'appliquent aux fonctions d'une variable réelle et à valeurs dans R2.
a) Dérivation
Dérivabilité en un point, caractérisation à l'aide des parties réelle et imaginaire; opérations sur les fonctions dérivables. Algèbre Ck(I) des fonctions de classe Ck à valeurs complexes, où 0 £ k £ +¥; dérivée n-ième d'un produit.
Caractérisation des fonctions constantes.
Il convient de montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que le théorème de Rolle ne s'étend pas.
b) Intégration
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, linéarité.
Inégalité |ò[a,b]f| £ ò[a,b]|f|.
La démonstration de cette inégalité est hors programme.
c) Intégration et dérivation
Extension du théorème fondamental.
Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1.
Interprétation cinématique.
| 5- Courbes planes paramétrées |
Dans ce chapitre, on considère des fonctions à valeurs dans R2, de
classe Ck sur I, où 1 £ k £ +¥.
L'objectif est d'exploiter, par identification de C au plan euclidien R2, les résultats obtenus sur les fonctions à valeurs complexes pour l'étude cinématique et géométrique des courbes planes.
La démarche du programme est de partir du point de vue cinématique (donnée d'un paramétrage) et d'introduire ensuite la notion de propriété géométrique en étudiant l'effet d'un changement de paramétrage.
L'étude des courbes paramétrées fait l'objet d'un approfondissement au chapitre IV.1.
a) Courbes paramétrées
Courbes paramétrées (ou arcs paramétrés) de classe Ck; interprétation cinématique: mouvement, vitesse, accélération.
Étant données deux fonctions f et g de classe C1 à valeurs dans R2, dérivation de (f|g), de ||f|| et de det(f,g).
En vue de l'enseignement de la mécanique, il convient de donner la caractérisation d'un mouvement uniforme, d'un mouvement rectiligne, d'un mouvement à accélération centrale. En mathématiques, aucune connaissance spécifique sur ces points n'est exigible des étudiants.
Trajectoire d'un mouvement, orientation; point régulier, birégulier.
b) Étude locale d'une courbe paramétrée
Définition des demi-tangentes en un point A (le vecteur unitaire associé à AM® admet une limite), de la tangente en un point A. Existence d'une tangente en un point régulier; vecteur unitaire T® de la tangente à un arc orienté.
Cas d'un point où l'un au moins des vecteurs dérivés successifs est non nul.
L'étude locale en un point où tous les vecteurs dérivés successifs sont nuls est hors programme.
Position locale de la courbe par rapport à l'une de ses tangentes en un point birégulier (concavité).
Les démonstrations sont hors programme.
En ce qui concerne les points d'inflexion et de rebroussements, il convient de se limiter à quelques exemples simples.
Branches infinies: directions asymptotiques, asymptotes.
Cette étude porte seulement sur des exemples; aucun énoncé général n'est exigible des étudiants.
| 6- Fonctions usuelles |
a) Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
Fonctions exponentielles réelles, fonctions logarithmes. Fonctions puissances.
Fonctions hyperboliques ch, sh et th.
Les étudiants doivent connaître les dérivées, les variations et les représentations graphiques de ces fonctions.
En ce qui concerne la trigonométrie hyperbolique, la seule connaissance exigible des étudiants est la relation ch2t-sh2t=1 et son interprétation géométrique. Les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme.
b) Fonctions circulaires
Fonctions circulaires cos, sin et tan.
Définition et dérivation des fonctions circulaires réciproques Arccos, Arcsin et Arctan.
Les étudiants doivent connaître les dérivées, les variations et les représentations graphiques des fonctions circulaires et des fonctions circulaires réciproques. Aucune autre connaissance spécifique sur les fonctions circulaires réciproques n'est exigible des étudiants.
c) Fonction exponentielle complexe
Dérivation de t® eat où a Î C.
d) Primitives des fonctions usuelles
Primitives de t® (t-a)n, a Î C, n Î Z.
Lorsque n=-1, on se ramène à l'intégration de la partie réelle et de la partie imaginaire; la notion de fonction logarithme complexe est hors programme.
Primitives de t®eatP(t) où a Î C et P Î C[X].
Tableau des primitives des fonctions usuelles.
e) Développements limités des fonctions usuelles
Développement limité à l'origine des fonctions t®eat, a Î C, t® (1+t)a, a Î R.
Les étudiants doivent savoir en déduire les autres développements limités usuels.
| 7- Équations différentielles |
Ce chapitre figure au programme de la seconde période.
L'objectif, très modeste, est d'étudier les équations différentielles linéaires du premier ordre et les équations linéaires du second ordre à coefficients constants.
Il convient de relier cette étude à l'enseignement des autres disciplines scientifiques (systèmes mécaniques ou électriques gouvernés par une loi d'évolution et une condition initiale, traitement du signal). Il convient d'étudier le comportement du signal de sortie associé à différents types de signaux d'entrée (échelon unité, créneau, exponentielle réelle ou circulaire) et de dégager la signification de certains paramètres ou comportements: stabilité, régime permanent, oscilllation, amortissement, fréquences propres, résonance. Dans le cadre de tels problèmes, on peut être amené à étendre la notion de solution (fonction C1 ou C2 par morceaux) mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.
a) Solutions d'une équation différentielle
Définition d'une solution sur un intervalle d'une équation différentielle y¢=f(x,y), d'une solution satisfaisant à une condition initiale donnée. Interprétation graphique.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz est hors programme.
b) Équations linéaires du premier ordre
Caractérisation de la fonction t® eat (a Î C) par l'équation différentielle y¢=a y et la condition initiale y(0)=1.
Équation a(x)y¢+b(x)y=c(x), où a, b, c sont des fonctions continues à valeurs réelles ou complexes. Équation sans second membre associée. Description de l'ensemble des solutions.
Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée sur un intervalle où a ne s'annule pas. Structure de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre associée. Expression des solutions sous forme intégrale.
c) Équations linéaires du second ordre à coefficients constants
Équation ay¢¢+by¢+cy=f(x), où a, b, c sont des nombres complexes, a ¹ 0, et f une somme de fonctions de type x®eax P(x), où a Î C et P Î C[X].
Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée. Structure de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre associée.
| Travaux pratiques |
Exemples d'emploi du calcul différentiel et intégral pour l'étude globale des fonctions: variations, recherche des zéros et du signe d'une fonction, obtention de majorations et minorations de suites et de fonctions, recherche d'extremums.
§ Exemples d'algorithmes d'approximation d'une solution d'une équation numérique.
Les étudiants doivent connaître les méthodes de dichotomie et d'itération.
§ Exemples de calcul de primitives et d'intégrales.
Les étudiants doivent savoir calculer une primitive d'une fonction rationnelle n'ayant que des pôles simples ou doubles. En dehors de ce cas, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies.
§ Algorithme de calcul approché d'intégrales par la méthode des trapèzes.
La méthode des trapèzes est la seule qui figure au programme.
Il convient de souligner l'intérêt des subdivisions dichotomiques.
§ Exemples d'étude locale et de construction de courbes paramétrées, et d'emploi de paramétrages d'ensembles du plan définis par des conditions géométriques ou mécaniques.
Exemples d'étude d'équations différentielles: équations linéaires du premier ordre, équations linéaires du second ordre à coefficients constants, équations à variables séparables.
Il convient d'exploiter notamment des problèmes issus de la géométrie et des autres disciplines scientifiques.