Cette partie figure au programme de la seconde période.

Les fonctions considérées dans cette partie sont de classe C^k sur un intervalle I de R (où 1 £ k £ +¥) et sont à valeurs dans le plan euclidien R². En outre, pour la présentation des notions du cours, on suppose que les arcs paramétrés G ainsi définis sont réguliers à l'ordre 1, c'est-à-dire que tous leurs points sont réguliers.

1. Courbes du plan
2. Champs de vecteurs du plan et de l'espace
3. Travaux pratiques

1- Courbes du plan

L'objectif est double:

- Étudier différents modes de définition des courbes planes (représentations cartésienne, paramétrique et polaire).

- Étudier quelques propriétés métriques fondamentales des courbes planes (abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure).

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques (lignes équipotentielles et lignes de champ), il convient de donner quelques notions sur les courbes définies par une équation implicite F(x,y)=l (tangente et normale en un point régulier). En mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.

a) Modes de définition d'une courbe plane

Courbe G définie par une représentation cartésienne

x®y=j(x)   ou    y® x=y(y)

où j et y sont de classe C^k.

Courbe définie par une représentation paramétrique

t®OM®(t)=f(t).

Calcul des coordonnées de la vitesse et de l'accélération dans le repère polaire.

Courbe définie par une équation polaire q®r(q) où r est de classe C^k et à valeurs réelles. Expression dans le repère polaire de vecteurs directeurs de la tangente et de la normale.

Équation polaire d'un cercle passant par O, d'une conique de foyer O.

Les seules connaissances spécifiques exigibles des étudiants concernant l'étude de courbes définies par une équation polaire sont celles indiquées ci-contre.

b) Propriétés métriques des courbes planes paramétrées

Pour un arc orienté G régulier à l'ordre 1, repère de Frenet (T^®,N^®), abscisse curviligne. Longueur d'un arc.

Par définition, une abscisse curviligne est une fonction s de classe C¹ sur I telle que

s¢(t)=||f¢(t)||2.

La longueur d'un arc est définie à l'aide de l'abscisse curviligne; toute définition géométrique d'une telle longueur est hors programme.

Si f est de classe C^k sur I, où 2 £ k < +¥, existence d'une fonction a de classe C^k-1 sur I telle que, pour tout t Î I, T^®(t)=cosa(t) e₁^®+sina(t) e₂^®.

La démonstration de ce résultat est hors programme.

Relations

df ds =T®,    dx ds =cosa,    dy ds =sina.

Définition de la courbure g = [(da)/ds]\cdotp

Relations

dT® ds =gN®,    dN® ds =-gT®.

Aucune connaissance spécifique sur le centre de courbure, le cercle osculateur, les développées et les développantes n'est exigible des étudiants.

Rayon de courbure.

Calcul des coordonnées de la vitesse et de l'accélération dans le repère de Frenet.

2- Champs de vecteurs du plan et de l'espace

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques brèves notions sur les champs de vecteurs du plan et de l'espace:

- Dérivées partielles, divergence, rotationnel.

- Circulation, intégrale curviligne.

- Potentiel scalaire, caractérisation des champs admettant un potentiel scalaire.

- Formule de Green-Riemann dans le plan.

En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.

Travaux pratiques

§ Exemples d'emploi de représentations cartésiennes et paramétriques (en particulier polaires) pour l'étude locale et globale des courbes planes. Exemples de tracés de courbes planes.

Exemples d'étude de propriétés métriques de courbes planes (longueur d'un arc, repère de Frenet, courbure¼).