L'objectif est double:
- Acquérir les notions de base sur les espaces vectoriels de dimension finie (indépendance linéaire, bases, dimension, sous-espaces vectoriels supplémentaires et projecteurs, rang), le calcul matriciel et la géométrie du plan et de l'espace (droites, plans, barycentres).
- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs et applications linéaires) et le point de vue matriciel.
Il convient d'étudier conjointement l'algèbre linéaire et la géométrie du plan et de l'espace et, dans les deux cas, d'illustrer les notions et les résultats par de nombreuses figures.
Dans toute cette partie, les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie et le corps de base est K, où K désigne R ou C.
| 1- Espaces vectoriels de dimension finie |
L'étude des espaces vectoriels et des applications linéaires est à
mener de front avec celle du calcul matriciel.
La théorie de la dualité, et notamment la notion d'orthogonalité, est hors programme.
a) Familles libres, familles génératrices, bases
Définition d'une famille libre, d'une famille liée, d'une famille génératrice, d'une base; coordonnées (ou composantes) d'un vecteur dans une base. Base canonique de Kn.
Étant donnés un espace vectoriel E muni d'une base (e1,¼,ep) et une famille (f1,¼,fp) de vecteurs d'un espace vectoriel F, il existe une application linéaire u et une seule de E dans F telle que u(ej)=fj.
La donnée d'une famille de p vecteurs (x1,x2, ¼,xp) d'un K-espace vectoriel E détermine une application linéaire de Kp dans E; noyau et image de cette application; caractérisation des bases de E, des familles génératrices, des familles libres.
b) Dimension d'un espace vectoriel
Définition d'un espace vectoriel de dimension finie (espace vectoriel admettant une famille génératrice finie). Théorème de la base incomplète, existence de bases.
Toutes les bases d'un espace vectoriel E de dimension finie sont finies et ont le même nombre d'éléments, appelé dimension de E. On convient que l'espace vectoriel réduit à {0} est de dimension nulle.
Tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à Kn; deux espaces vectoriels de dimension finie E et F sont isomorphes si et seulement si dimE=dimF.
Étant donnée une famille S de vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n:
- si S est libre, alors p £ n, avec égalité si et seulement si S est une base;
- si S est génératrice, alors p ³ n, avec égalité si et seulement si S est une base.
Étant donnés un espace vectoriel E muni d'une base B=(ej) et un espace vectoriel F muni d'une base C=(fi), une application linéaire u de E dans F et un vecteur x de E, expression des coordonnées de y=u(x) dans C en fonction des coordonnées de x dans B.
Étant donnée une forme linéaire j sur E, expression de j(x) en fonction des coordonnées de x dans B.
c) Dimension d'un sous-espace vectoriel
Tout sous-espace vectoriel E¢ d'un espace vectoriel de dimension finie E est de dimension finie et dimE¢ £ dimE, avec égalité si et seulement si E¢=E. Rang d'une famille de vecteurs.
Existence de sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un sous-espace vectoriel donné; dimension d'un supplémentaire.
Les étudiants doivent connaître la relation dim(E+F)=dimE+dimF-dim(EÇF).
d) Rang d'une application linéaire
Pour toute application linéaire u de E dans F:
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Rang d'une application linéaire, caractérisation des isomorphismes.
Caractérisation des éléments inversibles de l'algèbre L(E). Définition du groupe linéaire GL(E); homothéties de rapport non nul, symétries.
L'étude générale du groupe linéaire est hors programme.
| 2- Calcul matriciel |
Le calcul matriciel présente deux aspects qu'il convient de mettre en
valeur:
- Calcul sur des tableaux de nombres, interprétés en termes d'applications linéaires de Kp dans Kn munis de leurs bases canoniques.
- Expression dans des bases d'une application linéaire d'un espace vectoriel dans un autre.
Un des objectifs importants est d'interpréter matriciellement un changement de base dans un espace vectoriel, puis d'étudier l'effet d'un changement de base(s) sur la matrice associée à un endomorphisme (à une application linéaire). En revanche, les notions de matrices semblables et de matrices équivalentes sont hors programme.
a) Opérations sur les matrices
Espace vectoriel Mn,p(K) des matrices à n lignes et p colonnes sur K. Base canonique (Ei,j) de Mn,p(K); dimension de Mn,p(K). Isomorphisme canonique de L(Kp,Kn) sur Mn,p(K). Définition du produit matriciel, bilinéarité.
Identification des matrices colonnes et des vecteurs de Kn, des matrices lignes et des formes linéaires sur Kp.
Écriture matricielle Y=M X de l'effet d'une application linéaire sur un vecteur.
Algèbre Mn(K) des matrices carrées à n lignes. L'isomorphisme canonique de L(Kn) sur Mn(K) conserve le produit. Matrices carrées inversibles; définition du groupe linéaire GLn(K).
Sous-algèbre des matrices diagonales, des matrices triangulaires supérieures (ou inférieures).
Transposée d'une matrice. Compatibilité avec les opérations algébriques sur les matrices.
Matrices carrées symétriques, antisymétriques.
Les matrices symétriques et les matrices antisymétriques constituent des sous-espaces supplémentaires.
b) Matrices et applications linéaires
Matrice MB,C(u) associée à une application linéaire u d'un espace vectoriel E muni d'une base B dans un espace vectoriel F muni d'une base C. L'application u® MB,C(u) est un isomorphisme de L(E,F) sur Mn,p(K); dimension de L(E,F).
Matrice MB(u) associée à un endomorphisme u d'un espace vectoriel E muni d'une base B. L'application u® MB(u) est un isomorphisme d'algèbres.
Matrice dans une base d'une famille finie de vecteurs.
La j-ième colonne de MB,C(u) est constituée des coordonnées dans la base C de l'image par u du j-ième vecteur de la base B.
Matrice de passage d'une base B à une base B¢ d'un espace vectoriel E; effet d'un changement de base(s) sur les coordonnées d'un vecteur, sur l'expression d'une forme linéaire, sur la matrice d'une application linéaire, sur la matrice d'un endomorphisme.
La matrice de passage de la base B à la base B¢ est, par définition, la matrice de la famille B¢ dans la base B: sa j-ième colonne est constituée des coordonnées dans la base B du j-ième vecteur de la base B¢. Cette matrice est aussi MB¢,B(IE).
c) Opérations élémentaires sur les matrices
Opérations (ou manipulations) élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) d'une matrice.
Les opérations élémentaires sur les lignes sont les suivantes:
- addition d'un multiple d'une ligne à une autre (codage: Li¬Li+aLj);
- multiplication d'une ligne par un scalaire non nul (codage: Li¬ aLi);
- échange de deux lignes (codage: Li« Lj).
d) Rang d'une matrice
Définition du rang d'une matrice (rang de l'application linéaire canoniquement associée, ou encore rang des vecteurs colonnes).
Pour toute application linéaire u de E dans F, le rang de u est égal au rang de MB,C(u), où B est une base de E et C une base de F.
Invariance du rang par transposition.
Emploi des opérations élémentaires pour le calcul du rang d'une matrice.
La démonstration de ce résultat est hors programme.
e) Systèmes d'équations linéaires
Définition, système homogène associé; interprétations. Description de l'ensemble des solutions.
Rang d'un système linéaire. Dimension de l'espace vectoriel des solutions d'un système linéaire homogène.
Les étudiants doivent connaître l'interprétation d'un système de n équations linéaires à p inconnues à l'aide des vecteurs de Kn et d'une application linéaire de Kp dans Kn (ainsi que la traduction matricielle correspondante).
Existence et unicité de la solution lorsque r=n=p (systèmes de Cramer). Résolution des systèmes de Cramer triangulaires. Emploi de la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes de Cramer et pour l'inversion des matrices carrées.
Le théorème de Rouché-Fontené et les matrices bordantes sont hors programme.
f) Déterminants d'ordres 2 et 3
Déterminant de deux vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de dimension 2, de trois vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de dimension 3. Caractérisation des bases.
Application à l'expression de la solution d'un système de Cramer à deux ou trois inconnues.
Dans le plan, équation d'une droite
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Déterminant d'un endomorphisme, du composé de deux endomorphismes; caractérisation des automorphismes.
Lorsque K = R, application à l'orientation du plan, de l'espace; la donnée d'une base détermine une orientation. Bases directes du plan ou de l'espace orienté.
Déterminant d'une matrice carrée. Déterminant du produit de deux matrices.
| 3- Géométrie affine du plan et de l'espace |
a) Repères cartésiens
Repères cartésiens, repère cartésien canonique de R2, de R3; coordonnées d'un point.
Changement d'origine, changement de repère.
Un repère cartésien est un couple formé d'un point et d'une base.
Équations cartésiennes d'une droite du plan, d'un plan de l'espace. Définition d'une droite de l'espace par deux équations.
Définition d'un paramétrage d'une droite, d'une demi-droite, d'un plan, d'un demi-plan. Vecteurs directeurs.
La donnée d'un repère cartésien détermine un paramétrage.
b) Barycentres
Définition des barycentres, associativité.
Définition d'un segment; paramétrage d'un segment.
| Travaux pratiques |
Exemples d'étude de l'indépendance linéaire d'une famille finie de vecteurs.
Exemples de construction de bases et de sous-espaces vectoriels supplémentaires, et d'emploi de bases, de supplémentaires et de changements de base, notamment pour l'étude des équations linéaires.
Il convient d'exploiter les espaces vectoriels Kn et Mn(K), ainsi que les espaces vectoriels de polynômes, de suites et de fonctions (calcul de la puissance n-ième d'une matrice, interpolation, de suites récurrentes linéaires, d'équations différentielles¼).
Exemples d'étude de systèmes d'équations linéaires (résolution des systèmes de Cramer, détermination du rang, recherche d'une base de l'espace vectoriel des solutions d'un système linéaire homogène, existence et calcul d'une solution particulière lorsque r=n ou r=p).
Lorsque p £ 3, en liaison avec l'étude de l'incidence des droites du plan et des plans de l'espace, les étudiants doivent savoir expliciter l'ensemble des solutions quel que soit le rang.
§ Emploi des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice à coefficients numériques pour la résolution des systèmes de Cramer par l'algorithme du pivot partiel, le calcul de déterminants, l'inversion des matrices carrées, la détermination du rang d'une matrice.