L'objectif est double:
- Acquérir les notions de base sur les espaces vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3 (produit scalaire, bases orthonormales, supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux, automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales) et sur la géométrie euclidienne du plan et de l'espace (distances, angles, réflexions, rotations).
- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs et automorphismes orthogonaux) et le point de vue matriciel.
En ce qui concerne le produit scalaire, il convient d'abord de consolider les acquis des classes de Première et de Terminale et de s'appuyer sur cet exemple fondamental pour introduire cette notion sur un R-espace vectoriel de dimension 2 ou 3. En classe TPC première année, les seules connaissances exigibles des étudiants portent sur les vecteurs du plan et de l'espace.
La mesure de l'angle orienté de deux vecteurs unitaires de R2 est définie à 2p près, par l'application q®eiq de R sur U. Toute définition géométrique des angles est hors programme.
Dans toute cette partie, le corps de base est R.
| 1- Produit scalaire, automorphismes orthogonaux |
a) Produit scalaire en dimension 2 ou 3
Produit scalaire (x,y)® (x|y) (noté aussi en géométrie (x®,y®)®x®.y®) sur un R-espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à 3; définition d'un espace vectoriel euclidien. Inégalité de Cauchy-Schwarz; norme euclidienne, distance associée, inégalité triangulaire.
L'étude de ces notions doit être illustrée par les exemples suivants:
- le produit scalaire canonique de R2 et de R3;
- le produit scalaire des vecteurs du plan et de l'espace.
Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces vectoriels orthogonaux. Bases orthogonales, bases orthonormales; relation de Pythagore. Orthogonal d'une droite, d'un plan.
Expressions dans une base orthonormale des coordonnées et de la norme d'un vecteur, du produit scalaire de deux vecteurs, de la distance de deux points.
Projecteurs orthogonaux, réflexions.
Expression de la projection orthogonale d'un vecteur sur un sous-espace muni d'une base orthonormale.
Dans le plan (resp. l'espace) euclidien orienté, la donnée d'une orientation d'une droite D induit une orientation de la droite orthogonale (resp. du plan orthogonal).
b) Automorphismes orthogonaux du plan
Définition d'un automorphisme orthogonal d'un plan euclidien E (c'est-à-dire un automorphisme de E conservant le produit scalaire). Caractérisation à l'aide de la conservation de la norme.
Caractérisation d'un automorphisme orthogonal par l'image d'une (de toute) base orthonormale.
Définition du groupe orthogonal O(E); symétries orthogonales, réflexions.
L'étude générale du groupe orthogonal est hors programme.
Définition des matrices orthogonales et du groupe O(2). Caractérisation des matrices orthogonales par leurs vecteurs colonnes.
Caractérisation d'un automorphisme orthogonal à l'aide de la matrice associée dans une (toute) base orthonormale.
Changement de base orthonormale.
Les matrices orthogonales sont définies à partir de l'automorphisme de R2 associé. Caractérisation des matrices orthogonales par l'une des relations
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Déterminant d'une matrice orthogonale, d'un automorphisme orthogonal; déterminant d'une réflexion.
Définition du groupe des rotations SO(E), du groupe SO(2) des matrices de rotation.
Caractérisation d'une rotation par l'image d'une (de toute) base orthonormale directe.
Dans un plan euclidien orienté, déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormale directe, noté det(a,b).
Les étudiants doivent connaître l'interprétation de |det(a,b)| en termes d'aire.
Dans un plan euclidien orienté, mesure q (définie modulo 2p) de l'angle orienté de deux vecteurs a et b non nuls.
Relations
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Matrice dans une base orthonormale directe d'une rotation, mesure de l'angle d'une rotation; matrice de rotation R(q) associée à un nombre réel q; relation R(q+q¢)=R(q) R(q¢).
Si u est la rotation d'angle de mesure q, alors pour tout vecteur unitaire a,
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c) Réflexions et rotations de l'espace
Réflexions, rotations.
Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, déterminant de trois vecteurs dans une base orthonormale directe, noté det(a,b,c).
Produit vectoriel, notations uÙv ou u×v. Expression des coordonnées du produit vectoriel dans une base orthonormale directe.
Les étudiants doivent connaître l'interprétation géométrique de |det(a,b,c)| en termes de volume.
Dans l'espace vectoriel euclidien de dimension 3, mesure q (où 0 £ q £ p) de l'angle de deux vecteurs a et b non nuls.
Relations
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Axe et mesure de l'angle d'une rotation d'un espace euclidien orienté de dimension 3. Étant donnée une rotation u d'axe dirigé par un vecteur unitaire a et d'angle de mesure q (modulo 2p), l'image d'un vecteur x orthogonal à l'axe est donnée par
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Les étudiants doivent savoir déterminer l'axe et la mesure de l'angle d'une rotation, ainsi que l'image d'un vecteur quelconque et la matrice associée à cette rotation.
| 2- Géométrie euclidienne du plan et de l'espace |
a) Distances, angles
Repères orthonormaux.
Dans le plan et dans l'espace, droites et plans orthogonaux.
Distance d'un point à une droite du plan, à une droite ou un plan de l'espace.
Dans le plan euclidien orienté, mesure de l'angle orienté de deux droites.
Dans l'espace euclidien de dimension 3, mesure de l'angle de deux droites, de deux plans, d'une droite et d'un plan.
Les étudiants doivent savoir calculer les projections orthogonales, les distances, et les mesures des angles indiqués ci-contre, et savoir les exprimer dans un repère orthonormal.
Dans le plan, équation d'une droite (u®|AM®)=0, où u® est un vecteur unitaire. Extension à l'espace.
Équations normales d'une droite dans le plan, d'un plan dans l'espace.
b) Réflexions et rotations du plan et de l'espace
Translations, réflexions, rotations.
L'étude des isométries et des déplacements du plan (resp. de l'espace) est hors programme.
c) Cercles et sphères
Dans le plan, intersection d'un cercle et d'une droite.
Dans l'espace, intersection d'une sphère et d'un plan.
Équations cartésiennes d'un cercle, d'une sphère.
Caractérisation d'un cercle et d'une sphère par l'équation MA®.MB®=0 où AB est un diamètre.
d) Coniques
Dans le plan, définition par excentricité, foyer et directrice d'une parabole, d'une ellipse, d'une hyperbole. Équations réduites, centres, sommets, foyers. Asymptotes d'une hyperbole.
Définition d'une conique par une équation cartésienne (dans un repère orthonormal) de la forme
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En dehors du cas indiqué ci-contre et de celui des hyperboles définies par une relation xy=l, aucune connaissance spécifique sur la réduction des coniques définies par une équation cartésienne n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
§ En dimensions 2 ou 3, exemples d'emploi de bases orthonormales, de supplémentaires orthogonaux et de changements de base orthonormale.
§ En dimensions 2 et 3, exemples d'emploi du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte pour l'étude de configurations du plan et de l'espace (calcul de projections orthogonales, de distances, de mesures d'angles, d'aires, de volumes¼).