L'objectif est triple.
- Consolider les acquis de la classe de première année: étude des concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, applications linéaires, sous-espaces vectoriels supplémentaires et projecteurs, algèbres); notions de base sur les espaces vectoriels de dimension finie (bases, dimension, rang, calcul matriciel).
- Étudier de nouveaux concepts: somme directe de sous-espaces vectoriels, trace et déterminant d'un endomorphisme.
- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs et applications linéaires) et le point de vue matriciel.
Il convient d'illustrer les notions et les résultats de l'algèbre linéaire par de nombreuses figures.
Dans cette partie, le corps de base K est R ou C et les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
| 1- Espaces vectoriels; applications linéaires |
a) Somme directe de sous-espaces vectoriels
Somme directe de sous-espaces vectoriels: définition de la somme åEi d'une famille finie (Ei)i Î I de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E; définition d'une somme directe ÅEi d'une telle famille. Cas des sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Dans l'espace vectoriel K[X], le sous-espace vectoriel K[X] P constitué des multiples d'un polynôme P de degré n+1 admet pour sous espace supplémentaire le sous-espace vectoriel Kn[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Lorsque E est de dimension finie et que la somme åEi est directe,
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Alors, pour que E=ÅEi, il faut et il suffit que
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Définition d'une base d'un espace vectoriel E de dimension finie adaptée à un sous-espace vectoriel de E, à une décomposition E=ÅEi.
b) Image et noyau d'une application linéaire
Une application linéaire u de E dans F définit un isomorphisme de tout supplémentaire E¢ de Ker u sur Im u.
Application à l'interpolation de Lagrange: détermination des polynômes P prenant des valeurs données sur une famille (a0,a1,¼,an) d'éléments de K distincts deux à deux.
Soit u l'application de K[X] dans Kn+1 définie par u(P)=(P(a0),P(a1),¼,P(an)). Le noyau de u est constitué des multiples du polynôme N=Õ(X-aj); en outre, u définit un isomorphisme de Kn[X] sur Kn+1.
Relation
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Caractérisation des isomorphismes à l'aide du rang. Invariance du rang par composition avec un isomorphisme.
c) Trace d'un endomorphisme
Trace d'une matrice carrée; linéarité de la trace, relations Tr AB = Tr BA, Tr PMP-1=Tr M. Trace d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.
Le rang d'un projecteur est égal à sa trace.
| 2- Déterminants |
L'objectif de ce chapitre est de consolider les acquis de la classe de
première année sur les déterminants en dimension 2 ou 3, et d'étendre la
notion de déterminant au cas d'un espace vectoriel de dimension n. Pour
tout calcul de déterminant d'ordre supérieur ou égal à 4, des indications
doivent être fournies sur la méthode à suivre.
Le groupe symétrique et la signature d'une permutation sont hors programme.
a) Déterminant de n vecteurs
Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n. Déterminant de n vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de dimension n. Caractérisation des bases.
La démonstration de l'existence du déterminant est hors programme.
Application à l'expression de la solution d'un système de Cramer.
b) Déterminant d'un endomorphisme
Déterminant d'un endomorphisme, du composé de deux endomorphismes; caractérisation des automorphismes.
Application à l'orientation d'un espace vectoriel réel de dimension 2 ou 3.
c) Déterminant d'une matrice carrée
Déterminant d'une matrice carrée. Déterminant du produit de deux matrices, de la transposée d'une matrice. Développement par rapport à une ligne ou une colonne; cofacteurs.
La preuve de la relation dettM=detM est hors programme.
| Travaux pratiques |
Exemples d'étude de l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Exemples de construction de bases et de sous-espaces vectoriels supplémentaires, et d'emploi de bases, de supplémentaires, de sommes directes et de changements de bases, notamment pour l'étude des équations linéaires.
§ Exemples d'étude de problèmes d'interpolation linéaire.
Il convient d'exploiter les espaces vectoriels d'endomorphismes, de matrices, de polynômes, de suites et de fonctions.
§ Exemples d'étude de systèmes d'équations linéaires.
§ Emploi des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice à coefficients numériques pour la résolution des systèmes de Cramer par l'algorithme du pivot partiel, le calcul de déterminants, l'inversion des matrices.