L'objectif ce cette partie est triple:
- Étudier les valeurs propres et les sous-espaces propres d'un endomorphisme.
- Étudier les endomorphismes diagonalisables.
- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes issus de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie.
En outre, le programme associe étroitement le point de vue géométrique et le point de vue matriciel, et valorise les applications de la réduction à l'algèbre et à l'analyse.
Dans cette partie, le corps de base K est R ou C. et les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
a) Valeurs propres, vecteurs propres d'un endomorphisme
Définition d'un sous-espace vectoriel F stable par un endomorphisme u d'un espace vectoriel E.
Droites stables par un endomorphisme u de E. Définition des valeurs propres, des vecteurs propres (le vecteur 0 n'est pas un vecteur propre), des sous-espaces propres El(u)=ker(u-lI[ || E]) d'un endomorphisme u de E.
Pour que l soit une valeur propre de u, il faut et il suffit que u-lI[ || E] ne soit pas inversible; l'ensemble des valeurs propres de u est alors appelé spectre de u et noté Sp (u).
Éléments propres des homothéties, des projecteurs, des symétries.
Toute famille de p vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est libre.
La somme de n sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est directe.
b) Valeurs propres, vecteurs propres d'une matrice carrée
Définition des valeurs propres, des sous-espaces propres, des vecteurs propres et du spectre d'un élément M de Mn(K).
Un élément M de Mn(R) peut être considéré comme élément de Mn(C); le spectre de M dans R est contenu dans le spectre de M dans C.
Les éléments propres de M sont définis comme étant ceux de l'endomorphisme u de Kn canoniquement associé à M.
Dans l'algèbre Mn(K), propriétés de l'endomorphisme M®PMP-1. Définition des matrices semblables; interprétation géométrique.
Spectre de deux matrices semblables.
c) Polynôme caractéristique
Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme; ordre de
multiplicité d'une valeur propre.
Lorsque ce polynôme est scindé, expression de la trace et du déterminant en
fonction des valeurs propres.
d) Réduction d'un endomorphisme en dimension finie
Définition d'un endomorphisme u diagonalisable: l'espace vectoriel
E est somme (directe) des sous-espaces propres de El(u).
Inversement, si E est somme directe de sous-espaces vectoriels stables
Ej sur lesquels u induit une homothétie, alors u est diagonalisable.
Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s'il existe une
base formée de vecteurs propres de u, ou encore s'il existe une base dans
laquelle la matrice de u est diagonale.
Pour qu'un endomorphisme u de E soit diagonalisable, il faut et il
suffit que la somme des dimensions des sous-espaces propres de u soit
égale à dim E.
Tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé et a
toutes ses racines simples est diagonalisable, et ses sous-espaces propres
sont de dimension 1.
Définition d'une matrice carrée M diagonalisable. Pour que M soit
diagonalisable, il faut et il suffit que M soit semblable à une matrice
diagonale.
Lorsque M est diagonalisable, M s'écrit sous la forme PDP-1, où
D est diagonale et où P est la matrice de passage de la base canonique
de Kn à une base de vecteurs propres de M.
| Travaux pratiques |
§ Exemples d'étude de suites numériques satisfaisant à une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.
Les étudiants doivent savoir déterminer les suites satisfaisant à une relation de récurrence un+2=a un+1+b un.
§ Exemples de réduction à la forme diagonale de matrices carrées sur C ou sur R.
§ Exemples d'étude du comportement des puissances d'une matrice diagonalisable.
Il convient de donner quelques exemples de matrices non diagonalisables, mais aucune méthode générale de réduction à la forme triangulaire n'est exigible des étudiants.