L'objectif de cette partie est très modeste: introduire quelques
notions sur le calcul différentiel portant sur les fonctions numériques de
deux ou trois variables réelles.
| 1- Calcul différentiel |
L'objectif essentiel est d'introduire quelques notions de base:
dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, développement limité à
l'ordre 1, différentielle, gradient et de les appliquer aux extrémums
locaux et aux coordonnées polaires; en revanche, la notion de fonction
différentiable en un point est hors programme.
Les fonctions f considérées dans ce chapitre sont à valeurs réelles et définies sur un ouvert U de Rp, où p £ 3.
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient d'étendre brièvement ces notions au cas où f est à valeurs dans Rn, où n £ 3, par emploi des coordonnées, mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.
a) Dérivées partielles premières
Définition de la dérivée de f en un point a de U selon un vecteur h, notée Dhf(a). Définition des dérivées partielles, notées Djf(a) ou [(¶f)/(¶xj)](a).
Définition d'une fonction de classe C1 (ou continûment différentiable): les dérivées partielles Djf sont continues sur U. Algèbre C1(U) des fonctions de classe C1 sur U.
Il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout élément t Î [-d,d], a+th appartienne à U; on pose alors jh(t)=f(a+th). Si jh est dérivable à l'origine, on dit que f admet une dérivée au point a de U selon le vecteur h, et l'on pose Dhf(a)=jh¢(0).
Théorème fondamental: si f est de classe C1 sur U, alors f admet, en tout point a de U, une dérivée selon tout vecteur h, et
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La démonstration de ce résultat est hors programme.
En particulier, l'application h®Dhf(a) est une forme linéaire appelée différentielle de f au point a et notée df(a).
Dérivée d'une fonction composée de la forme f°j, où j est de classe C1 sur un intervalle I et à valeurs dans U.
Dans l'espace euclidien Rp, le gradient de f est défini par
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Coordonnées du gradient.
Points critiques d'une fonction numérique de classe C1; condition nécessaire d'existence d'un extrémum local.
b) Dérivées partielles d'ordre k ³ 2
Théorème de Schwarz pour une fonction de classe C2 sur U.
La démonstration du théorème de Schwarz est hors programme.
c) Coordonnées polaires
Repère polaire ([u\vec],[v\vec]) du plan euclidien R2 défini, pour tout nombre réel q, par:
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Coordonnées polaires d'un point de R2.
Relations
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Expression des coordonnées du gradient d'une fonction à valeurs réelles f de classe C1 en fonction des dérivées partielles de la fonction
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d) Notions sur les courbes et les surfaces
Dans ce paragraphe, les courbes du plan ou de l'espace et les surfaces sont définies par paramétrages ou par équations cartésiennes. Aucune difficulté ne peut être soulevée sur l'équivalence de ces définitions.
L'objectif, très modeste, est d'introduire la notion de tangente à une courbe plane définie par une équation cartésienne F(x,y)=0, et de plan tangent à une surface définie par une équation cartésienne F(x,y,z)=0.
L'étude des courbes d'une surface définies par des conditions différentielles est hors programme.
Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur les notions étudiées dans ce paragraphe. Toutes les formes du théorème des fonctions implicites utiles pour traiter ce paragraphe sont admises.
Définition d'un point régulier d'une surface définie par paramétrage (u,v)® f(u,v), où f est de classe C1 sur un ouvert U de R2 à valeurs dans R3. Plan tangent, normale.
Tangente à l'intersection de deux surfaces en un point régulier où les deux plans tangents sont distincts.
Définition d'un point régulier d'une courbe plane définie par une équation cartésienne F(x,y)=0, où F est à valeurs réelles et de classe C1 sur un ouvert U de R2. Tangente, normale. Cas d'une surface.
| 2- Calcul intégral |
a) Intégrales doubles
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur les intégrales doubles et triples:
- Intégrales doubles: linéarité, croissance, additivité par rapport au domaine d'intégration, calcul par intégrations successives, exemples simples de changements de variables.
- Brève extension aux intégrales triples.
- Exemples d'applications aux calculs d'aires planes et de volumes.
En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.
b) Champs de vecteurs du plan et de l'espace
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur les champs de vecteurs du plan et de l'espace: divergence, rotationnel, circulation, potentiel scalaire.
En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
Exemples d'emploi de coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques.
§ Exemples de recherche d'extrémums locaux ou globaux.
Exemples de recherche de solutions d'équations aux dérivées partielles par séparation ou changement de variables.
§ Exemples de représentation d'une surface à l'aide d'une famille de sections planes.