a) Intentions majeures

Les contenus sont organisés autour de quatre intentions majeures.

- Organiser les programmes autour de quelques notions essentielles, en dégageant les idées majeures et leur portée, en fournissant des outils puissants et efficaces, en évitant toute technicité gratuite, et en écartant les notions qui ne pourraient être traitées que de façon superficielle.

- Donner un rôle très important aux travaux pratiques, dont la fonction est double: indiquer le champ des problèmes et phénomènes mathématiques à étudier en relation avec les concepts figurant au programme; préciser les méthodes et les techniques usuelles exigibles des étudiants. En revanche, les travaux pratiques ne doivent pas conduire à des dépassements de programme prenant la forme d'une anthologie d'exemples dont la connaissance serait exigible des étudiants.

- Mettre en valeur le caractère plurivalent des concepts mathématiques. Cette plurivalence s'inscrit dans un double mouvement: d'une part, l'étude d'un domaine particulier vient enrichir le concept général, grâce au langage et aux méthodes propres à ce domaine; d'autre part, le concept général permet le transfert des connaissances d'un domaine d'application à un autre.

- Réaliser un équilibre global entre l'algèbre, l'analyse et la géométrie. Il va de soi, d'ailleurs, que cette séparation traditionnelle n'est qu'une commodité de rédaction et ne doit pas faire oublier les interactions nombreuses et étroites entre ces trois grands domaines des mathématiques. Dans cette intention, les programmes sont présentés selon deux grandes parties: analyse et géométrie différentielle, algèbre et géométrie.

C'est en fonction des objectifs précédents que les programmes sont conçus et que l'horaire hebdomadaire doit être géré. Dans les classes TPC, il est de 10 heures (7 heures de cours et 3 heures de travaux dirigés). Pour valoriser les concepts essentiels et les principales méthodes (comprenant les exemples et contre-exemples qui illustrent leur portée et leurs conditions de validité), il convient de consacrer à leur étude environ 5 heures de cours. Les 5 heures restantes (2 heures de cours et 3 heures de travaux dirigés) sont à consacrer à l'étude de problèmes mathématiques, notamment ceux qui sont indiqués dans les rubriques de travaux pratiques; à cet égard, toute technicité gratuite est à éviter.

b) Secteur de l'analyse et de ses interventions

Dans ce secteur, le programme est organisé autour des concepts fondamentaux de fonction, qui permet de modéliser le comportement des phénomènes continus, et de suite (ou de série), qui permet de modéliser le comportement des phénomènes discrets.

Le programme d'analyse combine l'étude des problèmes qualitatifs avec celle des problèmes quantitatifs; il développe conjointement l'étude du comportement global des suites et des fonctions avec celle de leur comportement local ou asymptotique.

En première année, la maîtrise du calcul différentiel et intégral à une variable constitue un objectif essentiel.

En seconde année, la représentation des fonctions, notamment par des séries (séries entières, séries de Fourier) et par des intégrales dépendant d'un paramètre, l'étude des équations différentielles linéaires tiennent une place majeure. Le programme comporte en outre quelques notions sur les fonctions de plusieurs variables, en relation avec l'enseignement des sciences physiques.

c) Secteur de l'algèbre et de ses interventions

Dans ce secteur, le programme est organisé autour des concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire (points de vue géométrique et matriciel). Il met en oeuvre les méthodes de l'algèbre linéaire pour la résolution de problèmes issus, non seulement des autres secteurs de l'algèbre, mais aussi de l'analyse et de la géométrie.

En première année, le programme combine l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, applications linéaires, algèbres, dimension, rang, calcul matriciel) et ses interventions en algèbre, en analyse et en géométrie.

En seconde année, le programme développe de nouveaux concepts (déterminants, valeurs propres et sous-espaces propres, réduction des endomorphismes d'un espace vectoriel et des endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien, réduction des matrices).

d) Secteur de la géométrie et de ses interventions

Une vision géométrique des problèmes imprégne l'ensemble du programme de mathématiques car les méthodes de la géométrie et les apports de son langage (figures, représentations graphiques, interprétations géométriques¼) jouent un rôle capital en algèbre, en analyse et dans leurs domaines d'intervention.

e) Articulation avec la physique et la chimie

En relation étroite avec les concepts propres à la physique et à la chimie, le programme valorise les interprétations cinématiques et dynamiques des concepts de l'analyse et de la géométrie, ainsi que leurs interprétations en termes de signaux continus ou discrets. Ces interprétations, conjointement avec les interprétations graphiques et géométriques, viennent en retour éclairer les concepts fondamentaux de l'analyse.

f) Rôle de la pensée algorithmique

En relation avec le programme d'informatique, l'ensemble du programme de mathématiques valorise la démarche algorithmique; il intégre la mise en forme d'algorithmes et, sur des exemples, la comparaison de leurs performances.

Les algorithmes associés aux notions étudiées dans le programme de mathématiques sont mentionnés dans le texte même du programme ou dans les travaux pratiques. En outre, de nombreux travaux pratiques donnent lieu à l'exploitation du logiciel de calcul symbolique et formel étudié en informatique.

g) Emploi des calculatrices

Cet emploi est défini par la réglementation en vigueur. Les étudiants doivent savoir utiliser une calculatrice programmable dans les situations liées au programme de la classe et de la discipline considérées. Cet emploi combine les capacités suivantes, qui constituent un savoir-faire de base et sont seules exigibles:

- savoir effectuer des opérations arithmétiques sur les nombres réels et savoir comparer deux nombres réels;

- savoir utiliser les touches des fonctions qui figurent au programme de la classe considérée et savoir programmer le calcul des valeurs d'une fonction d'une ou plusieurs variables permis par ces touches;

- savoir programmer une instruction séquentielle, une instruction conditionnelle et une instruction itérative comportant éventuellement un test d'arrêt.