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École Polytechnique Journée de Mathématiques X-UPS : Heisenberg et son groupe du Lundi 14 mai 2018 au Mardi 15 mai 2018

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.

Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.

L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.

Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

Organisateurs scientifiques : Pascale HARINCK, Alain PLAGNE, Claude SABBAH

Les conférenciers invités sont :
Francis NIER (Université Paris 13 -Villentaneuse),
Pierre PANSU (Université Paris- Sud, Orsay),
Olivier SCHIFFMANN (CNRS, Université Paris- Sud, Orsay).

INSCRIPTION

Inscription gratuite mais obligatoire ICI
ou aussi auprès de Mme Carole Juppin, tél: 01 69 33 49 59, fax 01 69 33 49 49, xups@math.polytechnique.fr
Mme Carole Juppin Secrétariat Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique 91128 Palaiseau Cedex

Toutes les informations concernant ces journées seront diffusées au fur et à mesure sur la page web suivante : ICI

Nous vous rappelons que, ces journées étant des journées de formation, les professeurs de mathématiques supérieures peuvent obtenir une autorisation d'absence auprès de leur rectorat pour y participer.

IMPORTANT : Les mesures de sécurités régulent l'accès au grand hall où se déroulent les journées. Vous êtes invité à consulter le site ICI pour vous orienter. Nous tâcherons de faciliter au maximum votre arrivée.

Programme prévisionnel

lundi 14 mai 2018
10h - 11h Café d'accueil

11h - 12h Géométrie du groupe d'Heisenberg (1) 1h0' par Pierre PANSU (Université Paris-Sud)
On part d'un sujet de concours (X 2014) où est introduit le groupe d'Heisenberg de dimension 3 : c'est l'ensemble des matrices 3x3 triangulaires supérieures et avec des 1 sur la diagonale. Les chemins de Carnot sont les chemins dont la vitesse, à translation à gauche près, est confinée dans un plan. La non-commutativité permet de relier deux éléments quelconques du groupe d'Heisenberg par un chemin de Carnot, et de définir la distance de Carnot. Sa dimension de Hausdorff est 4. Tout est à l'avenant : bien qu'elle relève du calcul différentiel le plus ordinaire, la géométrie de Carnot est fractale. On tâchera de décrire la vie dans un univers aussi étrange. On expliquera aussi en quoi cette géométrie émerge de la thermodynamique, de la théorie du contrôle optimal, et comment elle est intimement attachée aux groupes nilpotents.
12h - 12h30 Discussion – Pause

12h30 - 14h Déjeuner

14h - 15h Variations sur un théorème de Stone-Von Neumann (1) 1h0' par Francis NIER (Université Paris 13)
Les exposés porteront sur le théorème de Stone-Von Neumann qui historiquement a été motivé par la synthèse des deux actes fondateurs de la mécanique quantique, par Heisenberg d'une part et par Schrödinger d'autre part. Une démonstration complète du théorème sera donnée et ensuite la quantification des transformations linéaires symplectiques sera présentée. Outre son aspect fondamental pour la mécanique quantique, le théorème de Stone-Von Neumann a eu de nombreuses conséquences dans le développement des mathématiques du XXème siècle et ce jusqu'à aujourd'hui. Nous appuyant sur des éléments de la démonstration du théorème, nous évoquerons notamment ses incidences dans le domaine de l'analyse.

15h - 15h30 Discussion – Pause

15h30 - 16h30 L'algèbre de Lie de Heisenberg et l'espace de Fock (1) 1h0' par Olivier SCHIFFMANN (CNRS, Université Paris-Sud)
L'espace de Fock, introduit en mécanique quantique dans les années 1930, est une modélisation d'un système quantique contenant un nombre arbitraire de particules non distinguables dont les états prennent valeur dans un espace de Hilbert (séparable, de sorte que ces états sont paramétrés par un entier). D'un point de vue mathématique, c'est une représentation de l'algèbre de Lie de Heisenberg, une algèbre de Lie de dimension infinie; dans un sens que nous préciserons, c'est même l'unique représentation (irréductible) de cette algèbre de Lie. Cela a des conséquences importantes : par exemple, l'espace de Fock construit à partir de bosons (particules pouvant être à plusieurs dans le même état quantique) est isomorphe à celui construit à partir de fermions (particules ne pouvant occuper à plusieurs le même état quantique) : c'est la correspondance bosons-fermions.

mardi 15 mai 2018
9h30 - 10h30 Géométrie du groupe d'Heisenberg (2) 1h0' par Pierre PANSU (Université Paris-Sud)
10h30 - 11h Discussion – Pause

11h - 12h Variations sur un théorème de Stone-Von Neumann (2) 1h0' par Francis NIER (Université Paris 13)
12h - 12h30 Discussion – Pause

12h30 - 14h Déjeuner

14h - 15h L'algèbre de Lie de Heisenberg et l'espace de Fock (2) 1h0' par Olivier SCHIFFMANN (CNRS, Université Paris-Sud)













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