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IMT Atlantique - Site de BREST Chaines de Markov et applications : modélisation de files d'attente et simulation de phénomènes aléatoires du Jeudi 19 avril 2018 au Vendredi 20 avril 2018

Présentation

L'objectif de ces deux jours de formation est de proposer une introduction aux chaînes de Markov à temps discret et à temps continu et à leur application à l'étude des phénomènes de files d'attente et à la simulation des phénomènes aléatoires.
Les cours et le travail sur les implémentations seront imbriqués tout au long des deux jours de stage.

INSCRIPTION

ICI

Informations générales

Les frais d'hébergement sont offerts par l'École pour l'enseignant lui-même à l'hôtel, sur la base du forfait journalier par personne.
Pour toute question, merci de prendre contact par mail avec chantal.rivain@imt-atlantique.fr (Chantal Rivain).
Intervenants : Sandrine Vaton et Thierry Chonavel
Pré-requis : notions de probabilités et de programmation avec Python
Mots-clés : Probabilités et statistiques, méthodes de Monte-Carlo, MCMC, processus aléatoires, simulation informatique, Python.
Nombre de participants : pas de contrainte

Programme

Probabilités et processus stochastiques
Rappels de probabilité : loi exponentielle, processus de Poisson, formule de Bayes
Chaînes de Markov à temps discret (et états discrets): propriété de Markov faible, diagramme de transition d'états, matrice de transition, équations d'équilibrage de charge et distribution stationnaire
Chaînes de Markov à temps continu (et états discrets): définition, diagramme de transition d'état, générateur infinitésimal, équations d'équilibrage de charge et distribution stationnaire
Chaînes de Markov à temps discret et état continu : noyau de transition, caractérisation de la distribution stationnaire
Les chaînes de Markov cachées ou fonctions aléatoires d'une chaîne de Markov

Théorie des files d'attente (markoviennes)
Caractérisation des arrivées, des départs
Nombre de serveurs, buffer d'attente
Notation de Kendall
Un exemple simple, la file M/M/1 : caractérisation, distribution stationnaire, performances moyennes (délai, taux d'utilisation du serveur)
Une file multi-serveurs avec blocage, la file M/M/C/C : caractérisation, distribution stationnaire, probabilité de blocage (formule d'Erlang-B)

Simulation de phénomènes aléatoires et méthodes MCMC (Monte Carlo par Chaînes de Markov)
Rappels sur les théorèmes limites : loi forte des grands nombres, théorème Central Limite
Estimation de probabilités par la Méthode de Monte Carlo
Méthodes directes de simulation de variables aléatoires : inversion de la fonction de répartition, algorithme de Box Müller
Algorithme d'Acceptation-Rejet
Algorithmes de Hastings Metropolis et du Recuit Simulé
Algorithme d'échantillonnage de Gibbs

Mise en œuvre : programmation avec Python
Présentation l'environnement de travail et de quelques librairies scientifiques Python (Numpy, Scipy, Matplotlib, Sympy, Mayavi)
Simulation d'une chaîne de Markov à temps discret, simulation d'une chaîne de Markov cachée
Simulation de la file M/M/1, évaluation empirique de la stabilité et des performances moyennes
Estimation de la valeur de la constante Pi par Monte Carlo
Simulation du modèle d'Ising par échantillonnage de Gibbs
Optimisation d'une fonction par recuit simulé





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