La prochaine séance du séminaire Mathematic Park aura lieu le samedi 11 avril 2026 à 15h à l’Institut Henri Poincaré (11 rue Pierre et Marie Curie à Paris). Nous accueillerons Vlerë Mehmeti (Sorbonne université) . Le résumé de l’exposé peut être trouvé ci-dessous.
Comme toujours, ce séminaire s'adresse aux étudiant·e·s à l'Université (tout niveau) et en classes préparatoires, ainsi qu'aux enseignant·e·s aussi bien en lycée, en classes préparatoires ou à l'université. Il pourra également intéresser certain·e·s bon·ne·s élèves de terminale. Son but est de présenter des mini-cours sur des sujets variés en mathématiques d'une durée d'environ 1h30. Les exposés sont suivis d'une collation conviviale.
Titre : Les nombres p-adiques et le théorème de Skolem-Mahler-Lech
Vous trouverez ici les informations et le formulaire d'inscription (gratuite mais obligatoire).
Le séminaire devrait être retransmis à l’adresse suivante (incertitude actuellement, du fait de travaux à l’IHP.)
Dans la mesure du possible, les exposés sont également archivés en vidéo, voir sur le site.
Pour retrouver toutes les informations du séminaire Mathématic Park, notamment les prochains exposés : ici.
Résumé :
Soit $(x_n)$ une suite de nombres complexes définie par une relation de récurrence linéaire d'ordre $d ≥ 1$, c'est-à-dire qu'il existe des nombres complexes $a_1$, ..., $a_d$ tels que, pour $n ≥ d$, on ait $x_n=a_1 x_{n-1} + ... + a_d x_{n-d}$. Le théorème de Skolem-Mahler-Lech affirme que l'ensemble des entiers $n$ tels que $x_n=0$ est l'union d'un ensemble fini et d'un nombre fini de progressions arithmétiques. À ce jour, la seule preuve connue de ce théorème est dépendante d'un autre système de nombres : les nombres $p$-adiques, qui satisfont des propriétés incompatibles avec notre intuition euclidienne. Par exemple, dans la géométrie $p$-adique tout triangle est isocèle, tout point d'un disque est son centre et tout entier est plus petit que $1$. Au-delà du théorème de Skolem-Mahler-Lech, cette théorie, à première vue excentrique, joue aujourd'hui un rôle central dans des domaines de recherche comme la théorie des nombres et la géométrie algébrique. Notre objectif sera de présenter une preuve du théorème de Skolem-Mahler-Lech, ce qui nécessitera une introduction aux nombres $p$-adiques et à certaines de leurs propriétés